1. ОБОБЩЕННЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ИХ СВЯЗЬ С ПЕРЕХОДНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

Рассмотрим выражение для переходного процесса

где

с — абсцисса абсолютной сходимости функции

Представим функцию в виде суммы из двух слагаемых, одно из которых содержащее все полюсы расположенные в левой полуплоскости, назовем регулярной частью функции а второе содержащее все полюсы расположенные в правой полуплоскости и на мнимой оси, назовем нерегулярной частью функции [3], [4]. Итак,

Подставляя формулу (XV.6) в (XV.5), получим

Заметим, что в первом интеграле в правой части уравнения (XV.7) можно положить так как все полюсы функции расположены в левой полуплоскости.

Введем обозначения

и

На основании равенств (XV.8), (XV.9) запишем

Регулярная часть функции ввиду того, что все полюсы ее преобразования Лапласа расположены в левой полуплоскости, является затухающей функцией от

Нерегулярная же часть функции напротив является при расходящейся или периодической функцией, или, наконец, постоянной величиной.

Предположим, что все полюсы нам известны и, следовательно, функция может быть найдена одним из известных способов. Полюсы же функции будем считать неизвестными, но, как уже об этом говорилось, расположенными в левой полуплокости.

Преобразуем выражение (XV.8) для к виду, имеющему основное значение для всего дальнейшего изложения.

Полагая в уравнении (XV.8) найдем

Отделим в выражении для вещественную часть от мнимой:

и назовем — обобщенной вещественной, — обобщенной мнимой частотными характеристиками процесса.

Подставляя выражение (XV. 13) в (XV.12), получим

Так как выражение представляет нечетную функцию от со, то второй интеграл в правой части уравнения (XV.14) равен нулю, поэтому

Если воздействие приложено в момент времени то

и выражение (XV. 15) упрощается.

Действительно, учитывая равенство (XV. 16), получим

Заменяя в уравнении (XV. 17) через получим

Складывая выражения (XV. 18) и (XV. 15), будем иметь

или

Вычитая уравнение (XV. 18) из (XV.15), найдем

Таким образом, на основании выражений (XV. 10), (XV.20) и (XV.21) можем написать

или

Выражения (XV.22) и (XV.23) определяют изменение обобщенной координаты или регулируемой переменной для широкого класса воздействий как при нулевых, так и при ненулевых начальных условиях.