ГЛАВА XVI. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА КАЧЕСТВА

В основе частотного метода анализа качества, так же как и частотного метода анализа переходных процессов, рассмотренного в главе XV, лежит математический аппарат интеграла и преобразований Фурье, приводящий в случае произвольных типовых воздействий и не нулевых начальных условий к понятию обобщенных частотных характеристик [5].

Частотный метод анализа качества позволяет по свойствам приведенной обобщенной частотной характеристики не вычисляя интеграла

судить о том, удовлетворяет ли функция условиям качества регулирования или нет (см. гл. II).

Первой работой, посвященной разработке частотного метода анализа качества на основе интегрального соотношения (XVI. 1), которое в случае единичного ступенчатого воздействия и нулевых начальных условий принимает вид

была работа [1].

Некоторые свойства интеграла (XVI. 1а) рассматриваются при изложении теории рядов Фурье. В работах [1] — [10] показано, что по свойствам функции представляемой в виде приведенной обобщенной вещественной частотной характеристики системы автоматического регулирования, можно судить о поведении функции исходя из условий качества регулирования. При этом удается избежать необходимости вычисления интеграла (XVI. 1) и построения кривой переходного процесса.

1. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Предположим, что изменение во времени отклонения регулируемой величины от требуемого закона может быть представлено в виде интеграла

в котором интегрирование ведется вдоль мнимой оси и полукруга малого радиуса, обходящего справа начало координат, причем функция может быть представлена в виде

При этом отметим, что функция не имеет полюсов во всей правой полуплоскости, включая мнимую ось.

Рис. XVI. 1. Область допустимых значений переходной функции: М — максимальное допустимое отклонение; — допустимая продолжительность регулирования; — статическое отклонение

Рассмотрим вещественную и мнимую частотные характеристики, или спектры процесса регулирования, которые определяются соответственно как вещественная и мнимая части выражения т. е.

причем

Далее определим необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять функции для того, чтобы функция определяемая интегралом (XVI.2), не выходила из пределов области допустимых значений, изображенной на рис. XVI. 1, т. е. чтобы функция удовлетворяла условиям допустимого максимального и заданного статического отклонения и условию допустимой продолжительности регулирования [5], [6].

Рассмотрим верхнюю и нижнюю границы области

допустимых значений (рис. XVI. 1), используя, например, следующие функции времени:

При достаточно большом значении постоянной С и малом значении постоянной а кривые, соответствующие функциям времени будут сколь угодно мало отличаться соответственно от верхней и нижней границ области допустимых значений, причем

Пусть

Подставляя функции времени (XVI.4) в (XVI.6), получим

Необходимым и достаточным условием, которому должна удовлетворять функция для того чтобы она не выходила из области допустимых значений, является, неравенство

Введем теперь в рассмотрение функции

Далее заметим, что неравенство (XVI.8) эквивалентно неравенствам

Так как интегралы существуют, то функции ем могут быть представлены в виде интегралов Фурье

Отделим в выражениях вещественные части от мнимых, т. е. положим, что

Обозначим через вещественные, а через ом мнимые части выражений т. е.

где согласно выражениям (XVI. 11)-(XVI. 13)

Функции назовем разностными вещественными частотными характеристиками, а функции — разностными мнимыми частотными характеристиками. Итак, согласно выражениям (XVI. 10) и поставленная задача сводится к решению следующего вопроса. Какими свойствами должна обладать функция для того, чтобы функция определяемая через при помощи преобразования Фурье (XVI. 11), была неотрицательной?

Ответ на этот вопрос дается известной теоремой. Пусть вещественные, интегрируемые и ограниченные функции, а также

причем интеграл существует. Тогда, если функция положительно определенна, то для всех вещественных значений При этом справедлива и обратная теорема.

Таким образом, можно сформулировать следующий критерий качества регулирования (точнее, условий допустимых статического и максимального отклонений и допустимой продолжительности регулирования): для удовлетворения устойчивой системой условий качества регулирования необходимо и достаточно, чтобы функции вещественными частями которых являются разностные вещественные частотные характеристики а мнимыми частями — разностные мнимые частотные характеристики ом от были положительно определенны.

Приведенному выше критерию можно придать более простую форму, если воспользоваться следующим следствием, вытекающим из основной теоремы: для того чтобы преобразование Фурье

функции

удовлетворяющей условию

было положительно определенным, необходимо и достаточно, чтобы была положительно определенной его вещественная часть

Действительно, на основании выражения (XVI. 17), учитывая условие (XVI. 18), мы можем написать

и если функция положительно определенна, то согласно приведенной выше теореме . При этом функция также является положительно определенной.

Следовательно, для того чтобы установить, что переходная функция не выходит за пределы области допустимых значений,

достаточно убедиться в положительной определенности разностных вещественных частотных спектров или характеристик