5. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Рассмотрим некоторые свойства выражения

определяющего переходный процесс в устойчивой системе, вызванный единичным ступенчатым воздействием. Эти свойства часто

позволяют судить о характере переходного процесса непосредственно по виду вещественной частотной характеристики системы без необходимости вычисления интеграла (XVI.41).

Очевидно, что рассматриваемые ниже свойства относятся и к более общему случаю формулы (XVI. 1), когда воздействие отличается от единичного и начальные условия ненулевые. При этом необходимо лишь вместо функции рассматривать функцию

Свойство линейности. Если вещественная частотная характеристика может быть представлена в виде суммы вещественных частотных характеристик т. е.

причем

то

Значение этого свойства заключается в том, что если нам удалось представить рассматриваемую вещественную частотную характеристику в виде суммы каких-либо элементарных вещественных частотных характеристик для каждой из которых переходная функция известна или может быть легко определена, то переходная функция может быть найдена путем простого сложения ординат кривых Как мы видели, это свойство лежит в основе приближенного метода построения картины переходного процесса при помощи типовых трапецеидальных характеристик.

Изменение масштаба вдоль оси ординат. Если изменить масштаб вещественной частотной характеристики вдоль оси ординат в раз, то масштаб кривой изменится вдоль оси ординат в то же число раз. Это свойство вытекает непосредственно из формулы (XVI.41), если умножить обе ее части на

Изменение масштаба вдоль оси абсцисс. Если увеличить (или уменьшить) масштаб вещественной частотной характеристики вдоль оси со в раз, то масштаб кривой вдоль оси уменьшится (или увеличится) в то же число раз. Другими словами, если вещественной частотной характеристике согласно формуле (XVI.41) соответствует переходная функция то вещественной частотной характеристике соответствует переходная функция т. е.

Из рассмотренного свойства следует, что если мы будем «растягивать» (или «сжимать») вещественную частотную характеристику вдоль оси частот, сохраняя ее подобной первоначальной кривой, то кривая переходного процесса будет «сжиматься» (или «растягиваться») вдоль оси времени, сохраняя свою форму. Иначе, чем «шире» вещественная частотная характеристика, тем при прочих равных условиях «уже» переходный процесс, т. е. тем быстрее он протекает.

Например, на рис. XVI.3, а вещественная частотная характеристика в 2 раза «шире» вещественной частотной характеристики можно совместить с увеличив в 2 раза абсциссы всех ее точек. Это означает, что переходный процесс соответствующий заканчивается в 2 раза быстрее, чем переходный процесс соответствующий (рис. XVI.3,б).

Рис. XVI.3. Эффект изменения масштаба вдоль оси частот

Определение конечного значения переходной функции по вещественной частотной характеристике. Конечное значение переходной функции равно начальному значению вещественной частотной характеристики

или

Действительно, согласно теореме о конечном значении

В рассматриваемом нами случае единичного ступенчатого управляющего воздействия

и

но

поскольку нечетная функция содержит со в виде множителя и обращается в нуль при Итак, переходная функция стремится с течением времени к нулю или постоянному значению в зависимости от того, равно нулю или отлично от нуля начальное значение вещественной частотной характеристики Р (0). Этот вывод, конечно, остается справедливым и для вещественной частотной характеристики соответствующей передаточной функции

Рис. XV 1.4. Вещественные частотные характеристики статических и астатических систем: а — по отношению к возмущающему воздействию; б и в — по отношению к управляющему воздействию

Так, например, вещественной частотной характеристике (рис. XV 1.4, а) соответствует переходная функция с отличным от нуля конечным значением, а вещественной частотной характеристике соответствует переходная функция с равным нулю конечным значением. Отсюда следует (см. гл. VIII), что если вещественная частотная характеристика соответствующая передаточной функции относительно возмущающего воздействия имеет отличное от нуля начальное значение [кривая то система является статической по отношению к этому воздействию, если же вещественная частотная характеристика [кривая ] имеет равное нулю начальное значение, то система является астатической.

Заметим, что передаточной функции относительно управляющего воздействия всегда соответствует вещественная частотная

характеристика с неравным нулю начальным значением, причем если система (рис. XVI.4, 6) статическая, то

а если система астатическая, то

Действительно, если предположить, что система имеет порядок астатизма относительно управляющего воздействия, равный то (см. гл. VIII)

Пусть порядок астатизма т. е. система является статической, тогда согласно выражению (XV 1.47) получим формулу (XVI.45), если же и система является астатической, то согласно выражению (XVI.47) получим формулу (XVI.46).

Рис. XVI.5. Соответствие между начальными и конечными значениями

Точно так же легко показать, что система является статической по отношению к управляющему воздействию, если , и астатической, если (рис. XVI. 4, в).

Определение начального значения переходной функции по вещественной частотной характеристике. Начальное значение переходной функции равно конечному значению вещественной частотной характеристики (рис. XV 1.5), т. е.

или сокращенно

Равенство (XVI.48) можно доказать, воспользовавшись теоремой о начальном значении.

Во всех тех случаях, когда порядок числителя меньше порядка знаменателя,

и, следовательно, переходный процесс начинается из начала координат. Если же порядок числителя равен порядку знаменателя, то

и начальное значение переходной функции отлично от нуля.

Заметим, что порядок числителя передаточной функции ошибки всегда равен порядку знаменателя и

Дифференцирование переходной функции. Дифференцируя выражение (XVI.41) по получим

Дифференцируя (XVI.49) еще раз, найдем

Формула (XV 1.50) показывает, что умножение функции на квадрат частоты формально соответствует двукратному дифференцированию переходной функции и перемене знака.

Смещение переходной функции. Как известно, смещение переходной функции по оси времени соответствует в комплексной области умножению на экспоненциальную функцию, т. е.

но

и, следовательно,

Разрывы непрерывности и пики в вещественной частотной характеристике. Если при некотором значении отличном от нуля, в вещественной частотной характеристике имеется разрыв непрерывности и она

обращается в бесконечность [кривая , рис. XVI.6], то это означает, что система находится на границе неустойчивости и в ней происходят незатухающие гармонические колебания с частотой

Действительно, если то это означает, что

равенство же (XVI.52) означает, что величина является нулем знаменателя передаточной функции или, другими словами, характеристическое уравнение системы имеет чисто мнимый корень что и доказывает высказанное выше утверждение.

Рис. XVI.6. Вещественные частотные характеристики для системы на границе устойчивости (а) и соответствующее им расположение корней (б).

Если же обращается в бесконечность при [кривая то при помощи аналогичных рассуждений легко показать, что характеристическое уравнение системы имеет нулевой корень и, следовательно, система находится на границе апериодической неустойчивости, или, как иногда говорят, является нейтрально устойчивой. Из сказанного следует, что наличие больших пиков в вещественной частотной характеристике свидетельствует о близости системы к границе устойчивости, о ее склонности к колебаниям и поэтому является весьма нежелательным.