3. ОБЩИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим одномерную систему автоматического регулирования, описываемую уравнениями (IV.27) — (IV.29), и предположим, что заданным начальным условиям и заданным воздействиям соответствует решение этих уравнений, определяемое функциями

Пусть в процессе регулирования

причем воздействиям (IV.38) соответствует решение уравнений, определяемых функциями:

где отклонения соответственно от малы.

Подставляя выражение (IV.39) в уравнения (IV.27), (IV.28), получим

Допустим, что функции и являются непрерывными однозначными функциями, и разложим эти функции в ряд по возрастающим степеням

Мы получим

В уравнениях (IV.42), (IV.43) частные производные вычисляются при текущих значениях являющихся в общем случае функциями времени, и, следовательно, вообще говоря, они также зависят от времени.

Имея в виду, чтохк удовлетворяют уравнениям (IV.27), (IV.28) при т. е. прие и пренебрегая в выражениях (IV.42), (IV.43) величинами второго и более высокого порядка малости, получим

Введем обозначения

Тогда уравнения (IV.29), (IV.44), (IV.45) можно переписать в следующем виде:

или в развернутой форме, опуская для простоты записи значение

и предполагая, что имеется только одно регулирующее воздействие в правой части первого уравнения объекта:

Уравнения регулятора в развернутой форме, если предположить, что единственным приложенным к нему воздействием является воздействие, зависящее от ошибки в правой части первого уравнения, имеют вид

Уравнения (IV.51) — (IV.53) линейны относительно переменных являющихся малыми отклонениями системы от заданного состояния их называют линеаризованными уравнениями системы автоматического регулирования. Если эта система упорядочена, т. е. если номер уравнения к и номер к возмущающей силы соответствуют номеру к той координаты, для которой это уравнение составлено, то в каждом уравнении член с операторным коэффициентом имеющим равные индексы является собственным членом, определяющим свободные движения (свободные колебания) данной координаты. Все остальные члены уравнений с коэффициентами имеющими разные индексы , выражают воздействия других обобщенных координат на данную.

Далее заметим, что если регулятор представляет собою последовательное соединение элементов направленного действия, то уравнения упрощаются и принимают вид

Обозначим через и через В главные определители соответственно систем уравнений (IV.51) и (IV.52), т. е.

и

Тогда, предполагая, что интерес представляют только изменения регулируемой переменной регулирующего воздействия исключим из выражений (IV.51), (IV.52) все переменные, кроме а также допустим для определенности, что для всех к (кроме ). В результате получим следующие уравнения:

объекта регулирования

регулятора

ошибки

В уравнении (IV.57) через обозначен минор определителя (IV.55), получающийся из последнего вычеркиванием первой строки и последнего столбца, а через — произведение минора того же определителя на оператор (с обратным знаком). Точно так же через обозначено произведение минора определителя на оператор

В развернутой форме линеаризованные уравнения (IV.57), (IV.58) системы автоматического регулирования имеют вид:

объекта регулирования

регулятора

Коэффициенты входящие в уравнения (IV.60), (IV.61), являются функциями параметров (IV.46), которые можно найти, раскрыв соответствующие миноры определителей (IV.55), (IV.56).