ГЛАВА XIII. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Критерии устойчивости позволяют выяснить, устойчива ли система, не только в том случае, если все ее параметры (все постоянные времени и коэффициенты усиления) заданы, но и в том случае, когда заданы все параметры системы, кроме одного или двух, которые могут изменяться в некоторых пределах, и требуется определить, при каких значениях этого одного параметра (или этих двух параметров) система устойчива.

Если пользоваться критерием Михайлова или амплитуднофазовым критерием, то для решения задачи надо, задаваясь разными значениями параметров, каждый раз заново строить соответствующий годограф и определять, устойчива ли система при этих значениях параметров. Для того чтобы установить границы областей устойчивости, нужно много раз повторять построения годографа Михайлова или амплитудно-фазовой характеристики. Если же воспользоваться критерием Гурвица, то решение задачи окажется связанным с анализом сложных и громоздких выражений, требующим значительного труда, или с построением кривых, определяющих зависимость значений определителей Гурвица от рассматриваемых параметров. Поэтому представляют интерес другие приемы выделения областей устойчивости, рассматриваемые ниже.

Область устойчивости в плоскости двух действительных параметров системы регулирования была впервые выделена И. А. Вышнеградским.

В последующие годы построение областей устойчивости проводилось для различных частных задач в ряде работ. Так, например, в работе Р. А. Фрезера и В. И. Дункана [7] был предложен общий метод выделения областей устойчивости и неустойчивости на плоскости двух параметров. А. А. Соколов [6] разработал прием построения области устойчивости с помощью отображения на плоскость параметров мнимой оси плоскости корней. Это направление было завершено работами Ю. И. Неймарка [4], [5], который предложил приемы выделения областей устойчивости и показал, что разные критерии устойчивости могут рассматриваться с единой точки зрения на основе предложенного им понятия Д-разбиения,

1. ПОНЯТИЕ О Д-РАЗБИЕНИИ ПРОСТРАНСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ

Рассмотрим в качестве примера характеристическое уравнение

в котором все коэффициенты, кроме двух (например, определены.

Положим, что при некоторых фиксированных значениях данное уравнение имеет в плоскости корней к корней, лежащих слева, и корней, лежащих справа от мнимой оси. Изменение в определенных пределах значений коэффициентов в характеристическом уравнении (XIII. 1) не вызывает изменения числа корней, расположенных справа и слева от мнимой оси в плоскости корней. Поэтому можно выделить на плоскости такую область, каждая точка которой определяет многочлен (XIII.I), также имеющий к корней, лежащих слева, и корней, лежащих справа от мнимой оси. Эту область обозначим

Выше в качестве примера рассматривалось уравнение (XIII. 1), в котором заданы значения всех коэффициентов, кроме первого и последнего. Совершенно аналогично может быть рассмотрено разбиение на области плоскости любых двух коэффициентов этого уравнения, если все остальные коэффициенты — заданные числа. Число может иметь любое целое значение , таким образом, в плоскости можно указать области, соответствующие разным значениям Так, например, если характеристическое уравнение имеет третью степень, т. е. если то в общем случае могут быть указаны области и Последняя область и будет собственно областью устойчивости в пространстве коэффициентов.

Если в этом характеристическом уравнении все коэффициенты, кроме двух, — конкретные числа, то плоскость этих двух неопределенных коэффициентов может и не содержать какой-либо из указанных областей. Если, например, не существует области то это значит, что при любых значениях этих неопределенных коэффициентов и при заданных значениях остальных коэффициентов уравнение не может иметь трех корней с отрицательной действительной частью слева от мнимой оси, т. е. система не может быть сделана устойчивой.

Если бы в уравнении (XIII. 1) были неопределенными не два, а три коэффициента, например то пришлось бы рассмотреть трехмерное пространство, откладывая по осям координат и область в этом пространстве выделялась бы некоторой поверхностью. При большем числе коэффициентов приходится рассматривать соответствующее многомерное пространство коэффициентов, и область выделяется гиперповерхностью. Такое разбиение пространства коэффициентов называется Д-разбиением.

Положим, что корней полинома (XIII.1) лежат слева от мнимой оси. При плавном изменении значений коэффициентов а корни могут перейти в правую полуплоскость. Этот переход может быть осуществлен только через мнимую ось или через бесконечность, причем корень становится равным бесконечности только при значениях параметров, обращающих в нуль коэффициент

Переход в пространстве коэффициентов через границу Д-разбиения соответствует в плоскости корней переходу корней через мнимую ось. Отсюда следует метод определения границы Д-разбиения: она определяется параметрически заменой в исследуемом полиноме к на — переменная величина, и может быть построена изменением значения от до . В этом смысле граница Д-разбиенйя есть отображение мнимой оси плоскости корней на пространство коэффициентов характеристического уравнения.

До сих пор говорилось только о Д-разбиении пространства коэффициентов характеристического уравнения. Разумеется, аналогичным образом можно построить Д-разбиение пространства любых параметров, от которых зависят коэффициенты характеристического уравнения (например, параметров исследуемой системы: постоянных времени и коэффициентов усиления).

В конечном итоге необходимо выделить только область устойчивости, т. е. область , но построение всего Д-разбиения оказывается часто самым простым путем для йостроения границы области устойчивости.