или, сокращенно,
Импульсной дискретной линейной стационарной системой (дискретным фильтром) называется система, описываемая линейным неоднородным уравнением в конечных разностях вида;
где 
— известная дискретная функция; 
— искомая дискретная функция, являющаяся решением уравнения (VII.134); 
— разности первого, второго и последующих порядков 
— постоянные коэффициенты.
Разностному уравнению (VII. 134) можно также придать другую форму:
где коэффициенты 
могут быть найдены по известным коэффициентам 
если учесть, что
причем через 
в выражении (VII. 136) обозначены коэффициенты бинома Ньютона.
При определенных упрощающих предположениях в качестве дискретной линейной стационарной системы, описываемой уравнением (VII. 135), или, как часто принято говорить, в качестве импульсного фильтра, можно рассматривать цифровую вычислительную машину. Этими упрощающими предположениями являются следующие: интервал 
постоянен; время вычислений мало по сравнению с 
(однако если это не так, то его можно учесть); существует взаимно однозначное соответствие между входом и выходом вычислительной машины; вычислительная машина осуществляет любую линейную операцию; вычислительная машина работает в реальном времени, используя только прошлую или настоящую (но не будущую) информацию.
Итак, рассмотрим вычислительную машину, для которой входной и выходной сигналы являются дискретной последовательностью чисел. Для получения выходного дискретного значения сигнала 
для данного момента времени вычислительная машина может
использовать входное дискретное значение сигнала 
для данного момента и некоторое конечное число входных и выходных данных за предшествующие моменты, т. е.
или, используя введенные выше обозначения,
Импульсной переходной функцией 
дискретной линейной стационарной системы называется решение разностного уравнения (VII.134) или уравнения (VI 1.135) при
Импульсная переходная функция 
состоит из последовательности дискретных ординат 
называемой весовой последовательностью (рис. VII.7).
Рис. VII.7. Импульсная переходная функция 
дискретного динамического элемента
Реакция дискретной линейной системы на дискретную последовательность входных импульсов 
в силу ее линейности и справедливости принципа суперпозиции представляет собой сумму реакций на каждый из импульсов. Но реакцией на каждый из импульсов, согласно определению, является импульсная переходная функция.
Следовательно,
или
Выражения (VII. 139), (VII. 140) являются аналогом интеграла суперпозиции для непрерывных систем. Импульсная переходная функция 
дискретной линейной системы может быть
представлена в виде последовательности дельта-функций с ординатами 
Согласно общему определению, передаточная функция 
дискретной системы является преобразованием Лапласа от импульсной переходной функции 
и, следовательно,
Найдем передаточную функцию 
цифрового фильтра, описываемого уравнением (VII.138). Преобразуя это уравнение по Лапласу получим
где
Передаточная функция 
может быть найдена как отношение преобразования Лапласа 
для выхода к преобразованию Лапласа 
для входа, т. е.
или
Из выражения (VII. 145) легко видеть, что передаточная функция цифрового фильтра является трансцендентной функцией от 
Если в выражении (VI 1.145) заменить 
через 
то получим частотную характеристику дискретного динамического элемента:
Придадим ее аргументу 
дискретные значения 
— некоторый интервал). Совокупность всех значений функции 
при 
будем называть дискретной функцией и отмечать звездочкой, т. е.
с периодом 
мнимая 
амплитудная 
и фазовая 
частотные характеристики дискретного динамического элемента определяются по его передаточной функции 
или частотной характеристики 
при помощи выражений, аналогичных формулам (VII.35), (VII.35а).
