ГЛАВА X. ПРИМЕРЫ СОСТАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СТРУКТУРНЫХ СХЕМ И ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Покажем, пользуясь конкретными примерами, рассмотренными в главе III, каким образом составляются дифференциальные уравнения, структурные схемы и определяются передаточные функции систем автоматического регулирования. Структурная схема системы является основным рабочим материалом проектировщика, определяющим не только взаимную связь агрегатов или устройств, места наиболее выгодного включения последовательных и параллельных корректирующих устройств, но позволяющим качественно оценивать характеристики динамической точности и определять влияние различных возмущений на поведение системы. С помощью структурных схем наиболее простым способом находят передаточные функции разомкнутых или замкнутых систем относительно ошибки и выходного сигнала. По этим передаточным функциям определяются показатели устойчивости, качества и точности регулирования или управления на этапе расчетно-теоретической проработки системы.

В качестве первого примера рассмотрим систему автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины.

1. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ ГИДРОТУРБИНЫ

Система автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины (рис. Х.1) состоит из объекта регулирования и двух взаимосвязанных автоматических регуляторов. Первый регулирует положение поворотных лопаток направляющего устройства, а второй — угол поворота лопастей рабочего колеса. Поворот лопасти осуществляется от механического программника, связанного со штоком серводвигателя направляющего аппарата. Оба регулятора изменяют расход воды, протекающей через гидротурбину и ее к. п. д.

Для упрощения математических выкладок будем считать, что угол поворота лопастей рабочего колеса установлен на некоторую

постоянную величину и при работе автоматического регулятора, управляющего положением лопаток направляющего аппарата, его величина остается неизменной. Система автоматического регулирования скорости состоит из следующих основных агрегатов: турбины с главным генератором (в виде нагрузки), трубопровода, главного серводвигателя, направляющего аппарата, вспомогательного серводвигателя, вспомогательного генератора и синхронного электродвигателя, вращающего центробежный маятник, и изодрома.

Регулирование скорости турбины производится путем изменения расхода воды, поступающего к направляющему аппарату гидротурбины через трубопровод. При этом происходит изменение ее вращающего момента.

Рис. Х.1. Упрощенная схема системы автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины

Составим дифференциальные уравнения, описывающие динамические процессы в агрегатах этой системы. Для простоты мы вначале пренебрежем переходными процессами в трубопроводе, представляющем собой систему с распределенными параметрами, описываемую уравнениями в частных производных. Влияние трубопровода на процесс регулирования рассматривается в разделе, посвященном системам автоматического регулирования с распределенными параметрами.

Уравнение движения ротора гидротурбины запишем в обычном виде:

где — момент инерции ротора гидротурбины и главного генератора; — угловая скорость вращения ротора гидротурбины; — вращающий момент, развиваемый гидротурбиной; — момент сил сопротивления.

Момент движущих сил зависит от скорости течения воды величины открытия направляющего аппарата и угловой скорости вращения гидротурбины .

Запишем эту зависимость в виде [8]

где — коэффициент, зависящий от конструкции гидротурбины.

Произведем линеаризацию уравнения с помощью разложения в ряд Тейлора по степеням (см. гл. IV). Для этого примем, что

где — соответственно установившиеся значения числа оборотов гидротурбины, величины открытия направляющего аппарата и скорости воды. Уравнение при отбрасывании членов разложения второго и более высоких порядков малости примет следующий вид:

Из выражения находим значение установившегося вращающего момента гидротурбины, т. е.

Подставив выражения в формулу получим

Момент сил сопротивления представим в виде суммы двух величин:

где — установившееся значение момента сопротивления; — мгновенное изменение нагрузки на гидротурбине (от подключения или отключения потребителей электроэнергии).

При подключении нагрузки к генератору в выражении берут знак плюс, а при отключении — знак минус.

Предположим, что в системе регулирования внезапно отключена часть нагрузки, тогда выражение с учетом зависимостей примет следующий вид:

В установившемся состоянии имеет место равенство момента движущихся сил с моментом сил сопротивления т. е.

Тогда формулу можно переписать в следующем виде:

Далее, введя обозначения

получим уравнение движения гидротурбины в безразмерной форме

Применяя к этому уравнению преобразование Лапласа для случая нулевых начальных условий, будем иметь

или

Чувствительный элемент системы регулирования состоит из вспомогательного генератора, связанного с валом турбины, синхронного электродвигателя и центробежного маятника. Вспомогательный генератор используется для питания синхронного электродвигателя, вращающего центробежный маятник. Таким образом, скорость вращения последнего зависит от скорости вращения турбины.

Будем считать, что на входе центробежного маятника происходит сравнение скоростей вращения генератора и электродвигателя центробежного маятника. С учетом синхронности их скоростей вращения это условие можно записать через относительные переменные в виде

где — относительная угловая скорость вращения центробежного маятника

Выведем дифференциальное уравнение центробежного маятника [3]. При вращении диска маятника вращающиеся грузы, охваченные лентой, будут расходиться под действием центробежной силы, значение которой определяется следующей формулой:

где — постоянная, зависящая от конструкции маятника; — расстояние от оси вращения маятника до центра тяжести грузов.

С изменением скорости вращения синхронного электродвигателя грузы маятника будут перемещаться, воздействуя при этом на рычаг. Перемещение рычага можно связать изменением радиуса зависимостью где х — величина перемещения рычага.

Разложим в ряд Тейлора правую часть уравнения , пренебрегая членами разложения выше первого, получим

Уравнение перемещения рычага представим в виде

где — приведенная масса к рычагу всех подвижных частей маятника; — сила сопротивления, препятствующая перемещению рычага.

Сила сопротивления зависит от упругости пружины, трения ленты и приведенного веса груза, и может быть найдена из следующего соотношения:

где — сила предварительного натяжения пружины; — коэффициент жесткости пружины; — коэффициент скоростного трения при перемещении ленты и грузов; — вес грузов.

Подставив в уравнение выражения (Х.15) и (Х.17),

Так как для установившегося состояния

то из уравнения получим

Вводя относительную переменную приведем уравнение к безразмерной форме:

где

Параметр обычно называется коэффициентом неравномерности. Из дифференциального уравнения нетрудно найти передаточную функцию центробежного маятника в виде

где

Перемещение золотника вспомогательного гидравлического серводвигателя представляет собой разность между перемещением рычага центробежного маятника и штока изодрома.

Запишем это уравнение через относительные переменные в виде

где — перемещение золотника вспомогательного серводвигателя;

— перемещение штока изодрома.

Уравнение движения поршня вспомогательного серводвигателя, а вместе с ним и главного распределительного золотника запишем в виде

где — перемещение поршня; — постоянная скоростного трения; — площадь поршня вспомогательного серводвигателя; — рабочий перепад давлений.

Перепад давлений связан с относительным перемещением формулой

Подставляя выражение (Х.24) в уравнение (Х.23), получим

где

Из уравнения (Х.25) нетрудно получить передаточную функцию вспомогательного серводвигателя

где

Главный гидравлический серводвигатель управляет направляющим аппаратом гидротурбины. Так как приведенная масса поршня гидравлического серводвигателя довольно велика, то уравнение движения штока поршня можно записать в виде

где — линейная скорость перемещения штока;

— коэффициент скоростного трения гидравлического серводвигателя;

— рабочий перепад давлений в серводвигателе;

— площадь поршня.

Преобразуем это выражение к виду, удобному для перехода к безразмерной форме:

Мсггт

Отношение давлений пропорционально отношению соответствующих ходов золотника гидравлического усилителя, т. е.

где — постоянная гидравлического клапана, зависящая от конструкции золотника и типа применяемого масла. Угловая скорость вращения вала гидротурбины зависит от величины перемещения штока серводвигателя.

В относительных величинах эту зависимость представим в виде

где

Учитывая выражение (Х.29), после простых преобразований из равенства (Х.28) получим

где

и

Передаточная функция гидравлического серводвигателя согласно уравнению имеет вид

или

где

Штифт центробежного маятника через рычаг воздействует на поршень изодрома; стакан последнего перемещается через систему рычагов от штока вспомогательного серводвигателя. На рис. приведена схема изодрома с кинематическими связями. Как видно из рис. Х.2, перемещение точки В определяется по правилу рычага:

где — плечи соответствующих рычагов.

Рис. Х.2. Кинематическая схема изодромного устройства

Пружина изодрома сжимается за счет разности перемещения штифта центробежного маятника и штока вспомогательного серводвигателя:

где — передаточное число изодрома.

Запишем уравнение движения изодрома в виде

где — относительное перемещение поршня изодрома; — масса поршня изодрома; — коэффициент демпфирования; — сила поджатия пружины.

Полагая, что получим

где — коэффициент жесткости пружины.

Учитывая формулу (X.33), перепишем уравнение (Х.34) в следующем виде:

Вводя в уравнение (Х.35) принятые относительные переменные, получим

где постоянная изодрома

Относительное перемещение

где — максимальная величина перемещения точки Д;

и постоянная относительной неравномерности

Из выражения следует, что передаточная функция изодрома имеет вид

или

Вводя обозначения

получим передаточную функцию изодрома в окончательном виде:

Итак, передаточные функции элементов регулятора направляющего аппарата гидротурбины имеют вид

Составим теперь структурную схему всей системы и определим ее передаточные функции. Эта структурная схема, составленная в соответствии с рис. Х.1 и формулами приведена на рис. Х.3.

Рис. Х.З. Структурная схема системы автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины: а — с регулятором положения поворотных лопаток направляющего аппарата; б — преобразованная структурная схема

На структурной схеме в пунктирный прямоугольник заключены элементы, входящие в состав регулятора. Согласно структурной схеме передаточная функция регулятора имеет вид

или в развернутой форме, учитывая выражение

Заменяя в выражении через — и подставляя полученное выражение в уравнение получим

откуда

В рассматриваемом нами случае [см. выражение (Х.12)].

Рис. Х.4. Структурная схема системы автоматического регулирования с двумя регуляторами

В заключение рассмотрим передаточную функцию радиальноосевой гидротурбины с учетом влияния двух регулирующих устройств: поворотных лопаток направляющего аппарата и поворотных лопастей рабочего колеса [51. В этом случае уравнение должно быть заменено следующим выражением:

В уравнении принято, что Передаточные функции элементов регулятора поворота лопастей рабочего колеса запишем в виде

На рис. Х.4 показана структурная схема системы автоматического регулирования радиально-осевой гидротурбины. Объект регулирования, имеющий два регулирующих устройства, на структурной схеме выделен в пунктирный прямоугольник.