9. КОРНЕВОЙ ГОДОГРАФ И ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМЫ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ, ПРИЛОЖЕННЫХ НЕ К ОСНОВНОМУ ВХОДУ СИСТЕМЫ

В автоматических системах, кроме управляющего сигнала, приложенного к основному входу, имеют место другого рода воздействия (возмущения), приложенные к другим точкам системы.

Примерами возмущений являются изменения или колебания нагрузки выхода системы, влияние других регулируемых величин, связанных с регулируемой величиной через объект, колебания напряжения, питающего элементы системы и т. п. Технические условия обычно требуют, чтобы установившиеся отклонения регулируемой величины, вызванные возмущениями, были достаточно малы, а длительность переходного процесса и выброс оставались бы примерно такими, как и от действия управляющего сигнала. Для исследования поведения системы под влиянием возмущений, имеющих форму типовых сигналов: единичного скачка или единичного импульса, приложенных не к основному входу, также применимы корневые годографы.

Рис. XVII. 16. Структурная схема системы автоматического регулирования: а — исходная; б — преобразованная

Метод корневого годографа позволяет синтезировать систему в соответствии с заданными показателями качества, учитывающими требования в отношении реакции системы как на управляющее воздействие, так и на возмущения, действующие в точках системы, не совпадающих с основным входом.

Рассмотрим систему, приведенную на рис. XVII. 16,а, к точке А которой приложено возмущение Передаточная функция от точки А к выходу системы х, которую мы будем обозначать получается аналогично основной передаточной функции Заменяя схему на рис. XVII, 16,а эквивалентной ей схемой (рис. XVII. 16,6), находим

Переходя от разомкнутой системы к замкнутой по формуле

получаем

Сравнивая передаточной функцией т. е.

замечаем, что знаменатели у них одинаковы, следовательно, полюсы этих передаточных функций, являющиеся корнями знаменателя, совпадают. Поэтому корневые годографы, построенные по общему для выражений (XVII.85) и (XVII.86) знаменателю, т. е. характеристическому полиному замкнутой системы, совпадают.

Однако переходные процессы в одной и той же системе, вызванные воздействием на входе и возмущением даже если и равны [например, ], не одинаковы. Переходная характеристика при для системы, изображенной на рис. XVI 1.9,

а переходная характеристика при

Различие реакций системы обусловлено, как видно из этих выражений, разными числителями передаточных функций

Тем, что нули не совпадают, хотя все полюсы у них одинаковы.

Таким образом, при анализе системы с учетом управляющего воздействия и возмущения можно пользоваться одними и теми же общими корневыми годографами, принимая во внимание, что переходные характеристики зависят от соответствующих нулей передаточных функции

Указанные выше общие корневые годографы системы строятся по передаточной функции разомкнутой системы полученной приравниванием нулю знаменателя выражений (XVI 1.85) и (XVII.86)

т. e. по передаточной функции

Пусть, например,

тогда

Общие корневые годографы легко могут быть построены для данной системы, если изменяемым параметром является один из коэффициентов усиления или или же их произведение общий коэффициент усиления прямой части внутреннего контура системы, изображенной на рис. XVII. 16,а.

Если необходимо исследовать систему при изменении другого параметра, например, то корневые годографы строятся по эквивалентной передаточной функции [26; § 8]

или (при изменении

Для рассматриваемого примера переходные характеристики в соответствии с выражениями (XVI 1.87) и (XVI 1.88) будут

Из этих выражений видно, что установившиеся значения переходных функций различны и может иметь больший выброс, чем Действительно, из выражения

имеем для рассматриваемой системы аналогично тогда отношение

Смысл этого отношения состоит в том, что если то установившиеся значения регулируемой величины соответственно относятся, как или как Отсюда следует вывод о том, что произведение должно быть велико для того, чтобы влияние возмущения на регулируемую величину х было в установившемся состоянии (т. е. после окончания переходного процесса, вызванного возмущением незначительно. В то же время коэффициент передачи обеспечивает точное воспроизведение выходом управляющего воздействия в установившемся состоянии

Возможность большего выброса по сравнению с объясняется наличием двух лишних нулей передаточной функции а именно по сравнению с единственным нулем - передаточной функции

Рис. XVII. 17. Корневой годограф для системы автоматического регулирования, приведенной на рис. XVII. 16.

Как было показано выше, нули передаточной функции, в особенности, если они близки к началу координат плоскости увеличивают выброс системы. Но если эти нули находятся ближе к доминирующим полюсам, чем к началу плоскости то они могут снизить выброс за счет уменьшения амплитуды — доминирующего колебания в реакции системы.

На рис. XVII. 17 построен корневой годограф для системы, изображенной в виде структурной схемы на рис. XVII. 16а, передаточная функция которой

При значениях параметров

Ветви корневого годографа пересекают мнимую ось при сокр — 14,3 и Выбирая на корневом годографе доминирующие полюсы вычисляем значение соответствующее этим полюсам согласно уравнению модулей [26]

Третий полюс замкнутой системы легко находится из условия при котором выполняется равенство

откуда

В этом случае передаточная функция замкнутой системы

а передаточная функция

Принимая имеем

Переходные характеристики будут

Из этих выражений видно, что в установившемся состоянии

Кривые переходных функций показаны на рис.

XVII. 18. При выбранном значении выброс практически отсутствует как в реакции системы на так и в реакции на

Рис. XVII. 18. Переходные функции для системы автоматического регулирования, приведенной на рис. XVII. 16 (при

В заключение отметим, что для оценки качества регулирования, когда возмущение приложено не к основному входу системы, полностью применимы приближенные формулы (XVII.69), (XVII. 74) и (XVII.75) для времени достижения первого максимума, для времени регулирования и для выброса переходной характеристики . При вычислении указанных оценок необходимо только знать расположение нулей и полюсов передаточной функции так как переходная функция является оригиналом по отношению к