7. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ОБРАТНОЙ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В некоторых случаях, особенно при анализе многоконтурных систем, на практике оказывается удобнее рассматривать не функцию а обратную ей функцию, т. е.

Это может быть целесообразно, например, в тех случаях, когда вследствие наличия местных обратных связей знаменатель функции не разлагается на простые сомножители, а числитель имеет значительно более низкий порядок, чем знаменатель. В такого рода случаях выражение для оказывается гораздо проще для анализа, чем выражение для Кривую, описываемую концом вектора при изменении от до назовем обратной амплитудно-фазовой характеристикой.

Сформулируем частотный критерий устойчивости для обратной амплитудно-фазовой характеристики.

Имеем

Предположим вначале, что разомкнутая система устойчива. Это означает, что все полюса функции и все нули обратной ей функции расположены в левой полуплоскости.

Введем вспомогательную функцию

или

и рассмотрим два случая.

1-й случай. Функция а следовательно, и не имеет полюсов в правой полуплоскости. Это означает, что функция не имеет нулей в правой полуплоскости. Поэтому для того, чтобы функция не имела нулей в правой полуплоскости и система в замкнутом состоянии была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы полное число оборотов вектора вокруг начала координат при изменении вдоль контура С на рис. XII. 3 равнялось нулю. Сосчитаем число оборотов вектора изменении вдоль полуокружности . Подставляя в выражение (XII. 49) и переходя к пределу при имеем

Из последнего выражения видно, что число оборотов при изменении вдоль т. е. при изменении на равно . Отсюда следует, что число оборотов при изменении вдоль мнимой оси от до должно быть равно так как только в этом случае полное число оборотов вектора будет равно нулю и функция не будет содержать нулей в правой полуплоскости. Если же изменять в выражении частоту от 0 до

то вектор должен пройти через квадрантов в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки.

Таким образом, можно сформулировать следующий критерий устойчивости.

Если обратная передаточная функция разомкнутой системы не имеет полюсов в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы обратная амплитудно-фазовая характеристика проходила через квадрантов против часовой стрелки относительно точки при изменении от 0 до

2-й случай. Функция имеет Р полюсов в правой полуплоскости. В этом случае, согласно принципу аргумента, для того чтобы функция не имела нулей в правой полуплоскости и система в замкнутом состоянии была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы полное число оборотов 2 вектора вокруг начала координат при изменении вдоль контура С (рис. XII. 3) было равно

Число оборотов вектора при изменении по по-прежнему будет равно .

Следовательно, число оборотов вектора при изменении от до должно равняться — , так как только в этом случае полное число оборотов Поэтому можно сформулировать следующий критерий:

если обратная передаточная функция имеет Р полюсов в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы обратная амплитудно-фазовая характеристика проходила через квадрантов против часовой стрелки относительно точки при изменении от 0 до

Критерий устойчивости для обратной амплитудно-фазовой характеристики можно сформулировать также в несколько другой форме, если воспользоваться известным свойством инверсии.

Так как

то модуль обратной амплитудно-фазовой характеристики равен ее обратной величине, а фаза обратной амплитудно-фазовой характеристики — фазе той же характеристики, но с обратным знаком.

Следовательно, если на плоскости провести окружность радиусом, равным 1, то точки, соответствующие значениям , лежащим внутри (вне) этой окружности на плоскости будут находиться вне (внутри) окружности, а аргументы этих точек будут отличаться знаком (рис. XII. 19).

Точкам пересечения кривой отрезка действительной оси соответствуют точки пересечения кривой

отрезка действительной оси знак перехода в этих точках, очевидно, будет обратный. Поэтому можно сформулировать следующий критерий устойчивости.

Система автоматического регулирования устойчива, если разность между отрицательными и положительными переходами обратной амплитудно-фазовой характеристики отрезка действительной оси (0, — 1) равна Р, где Р — число корней с положительной, действительной частью характеристического уравнения разомкнутой системы.

Рис. XII. 19. Построение обратной амплитудно-фазовой характеристики: а — прямая; б — обратная; 1 - 7 точки, соответствующие одинаковым частотам

При , что соответствует устойчивой или нейтральной разомкнутой системе, система устойчива, если разность между отрицательными и положительными переходами обратной амплитуднофазовой характеристики равна нулю.