14. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО

Апериодическим звеном называется простейший динамический элемент или его составная часть, имеющая передаточную функцию вида и

где — передаточный коэффициент; Т — постоянная времени.

Примеры устройств, которые можно рассматривать как апериодические звенья, приведены на рис. VIII.23. На рис. VIII.23, а входной величиной является давление воздуха в магистрали, выходной — давление воздуха в резервуаре; на рис. в входной величиной является напряжение, поданное на зажимы 1—2 цепи, выходной — напряжение на емкости или на сопротивлении (зажимы 3-4); на рис. VIII.23, г входной величиной является температура жидкости, выходной — температура тела.

Рис. VI 11.23. Примеры элементов систем автоматического регулирования, которые могут рассматриваться как устойчивое апериодическое звено

В соответствии с видом передаточной функции (VIII.153) дифференциальное уравнение апериодического звена можно записать в следующей форме:

где — величина на входе; — величина на выходе.

Переходная функция апериодического звена. Решение уравнения (VIII.154) для случая, когда величина на входехх представляет собой единичную функцию , определяет переходную функцию, которую мы будем обозначать Выражение для переходной функции апериодического звена имеет вид

Эта функция изображена на рис. VIII.24, а (кривая 1).

Соответственно для неустойчивого апериодического звена, имеющего передаточную функцию

переходная функция имеет вид

Эта функция изображена на рис. VIII.24, а (кривая 2).

Рис. VIII.24. Кривые переходных процессов типовых звеньев при скачкообразном изменении входной величины: а — в апериодическом звене (1 — устойчивом, 2 — неустойчивом); б — в колебательном звене (1 — устойчивом, 2 — неустойчивом); в — в интегрирующем звене; г — в усилительном звене

Частотные характеристики апериодического звена. Для получения частотных характеристик в формулу (VIII.153) передаточной функции апериодического звена вместо подставим . В результате получим

Модуль этой функции представляет собой амплитудную частотную характеристику апериодического звена

Аргумент этой функции является фазовой частотной характеристикой апериодического звена

Амплитудная и фазовая частотные характеристики, как это уже указывалось, могут быть сняты экспериментально путем измерения амплитуды и фазы выходной величины звена, когда на вход подается синусоидально изменяющееся воздействие различной частоты.

Кривая, описываемая концом вектора на комплексной плоскости при изменении от до называется амплитудно-фазовой характеристикой.

Рис. VI 11.25. Амплитудно-фазовая характеристика апериодического звена

Амплитудно-фазовая характеристика апериодического звена при со представляет собой полуокружность, изображенную на рис. VI 11.25. Стрелка около характеристики показывает направление перемещения конца вектора при увеличении . Характеристика начинается из точки на действительной оси (при ). По мере увеличения частоты модуль уменьшается, а фаза сдвигается вплоть до —90°, когда стремится к бесконечности. Диаметр окружности равен передаточному коэффициенту распределение отметок на характеристике определяется величиной постоянной времени Распределение этих отметок на рис. VIII.25 дано для одного конкретного численного значения Т.

Найдем, пользуясь уравнением (VIII. 158), логарифмические частотные характеристики апериодического звена, предположив, что т. е.

Таким образом, логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики апериодического звена определяются выражениями

Рассмотрим формулу (VIII. 161) для

Пренебрегая величиной по сравнению с единицей при и единицей по сравнению с при , приближенно можем написать:

Соотношения (VIII. 163) показывают, что логарифмическая амплитудная характеристика апериодического звена приближенно может быть представлена двумя прямолинейными отрезками (асимптотами):

сопрягающимися друг с другом при частоте

называемой сопрягающей частотой, причем максимальная ошибка, которую мы при этом допускаем, имеет место при сопрягающей частоте и равна — 3 дб.

Найдем наклон, который имеет асимптота (VIII. 164) по отношению к оси частот. При каком-либо значении

а при

и, следовательно,

Итак, мы видим, что при двукратном изменении частоты характеристика затухания уменьшилась на 6 дб, или, другими словами, асимптота (VIII. 164) имеет наклон, равный — 6 дб на октаву.

Если изменить частоту на декаду, т. е. положить в уравнении (VIII.164) то мы получим

Таким образом, наклон амплитудной характеристики — 6 дб на октаву эквивалентен наклону — 20 дб на декаду.

На рис. VIII.26 даны логарифмические амплитудные частотные характеристики апериодического звена, построенные по точной (VIII.161) и по приближенным формулам (VIII.164). Заметим, что вне интервала, равного двум октавам вправо и влево от сопрягающей частоты, обе характеристики (точная и приближенная) практически не отличаются друг от друга.

Ниже, в табл. VIII.1, приведены значения ошибки для различных которые получаются при замене истинной логарифмической амплитудной характеристики (VIII. 16) двумя сопрягающимися асимптотами (VIII. 164).

Таблица VIII.1

Кривая зависимости поправок от — показана на рис. VIII.27, а.

Рассматривая фазовую частотную характеристику (рис. VIII.26), т. е.

можно заметить, что в логарифмическом масштабе частот кривая, описываемая выражением (VIII. 166), является кососимметричной относительно точки в которой

Рис. VIII.26. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики апериодического звена

Другими словами, если откладывать вдоль оси абсцисс величину то в точках и симметрично расположенных относительно точки 1,0 (так как логарифмы от обеих величин равны и противоположны по знаку), значения фазы связаны соотношением

Действительно,

откуда и следует формула (VIII.167).

Построение кривой по выражению (VIII. 166) можно облегчить, если пользоваться номограммой, изображенной на рис. VIII.27, б. Для того чтобы найти сдвиг фазы при какой-либо частоте , связанный с наличием сопрягающей частоты при необходимо лишь совместить точку 1 на нижней шкале номограммы с сопрягающей

частотой и произвести отсчет сдвига фазы, соответствующий интересующему нас значению , по верхней шкале номограммы. При этом, конечно, масштаб вдоль оси частот для кривой, построенной по выражению (VIII. 166), должен совпадать с масштабом для на нижней шкале номограммы.

Если нас интересует сдвиг фазы, соответствующий сопрягающей частоте при частотах, находящихся вне интервала

Рис. VIII.27. Кривая поправок и номограмма: а — для асимптотической логарифмической амплитудной частотной характеристики апериодического звена; б — для построения фазовой частотной характеристики апериодического звена то можно воспользоваться следующими приближенными соотношениями:

при

при

полученными при помощи разложения в ряд и отбрасывания членов выше первого порядка малости.

Ниже, в табл. VII 1.2, приведены значения ошибки 6 при вычислении сдвига фазы по формулам (VIII. 168) и (VIII. 169).

Таблица VIII.2

Приведенная выше таблица показывает, что ошибка при пользовании выражениями (VIII. 168) и (VIII.169) вне интервала

не превышает 0,4°, а внутри этого интервала достигает максимального значения 12,4° при

Неустойчивое апериодическое звено. Передаточная функция (VIII. 156) неустойчивого апериодического звена при может быть представлена в виде

Из сравнения формул (VIII. 158) и (VIII.170) ясно, что логарифмическая амплитудная характеристика или характеристика затухания устойчивого и неустойчивого апериодического звена совпадают друг с другом, фазовые же характеристики отличаются друг от друга. В то время как фазовая характеристика устойчивого звена при малых со стремится к нулю, а при достаточно больших сок фазовая характеристика неустойчивого звена при малых со стремится к , а при достаточно больших

Изложенные выше соображения о приближенном построении логарифмических характеристик устойчивого апериодического звена без труда могут быть использованы и в случае неустойчивого апериодического звена.