10. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНОЙ И ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Логарифмическая амплитудная характеристика с постоянным наклоном. Предположим, что логарифмическая амплитудная характеристика представляет прямую линию (рис. VIII. 19) в логарифмическом масштабе частот.

Рис. VIII. 19. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика с постоянным наклоном и соответствующая ей фазовая частотная характеристика

В этом случае

Подставляя выражение (VIII.132) в формулу (VIII. 129), получим

Последнее выражение представляет собой табличный интеграл, который равен

Следовательно,

Это означает, что если имеет постоянный наклон, равный дб на октаву, то соответствующая фазовая характеристика не зависит от частоты и представляет собой постоянную величину, равную рад (рис. VIII. 19).

Рис. VIII.20. Прямоугольная логарифмическая амплитудная частотная характеристика и соответствующая ей фазовая частотная характеристика

Прямоугольная логарифмическая амплитудная характеристика. Предположим, что логарифмическая амплитудная характеристика имеет вид, изображенный на рис. VIII.20, т. е. при сос имеет наклон, равный бесконечности. Эту характеристику можно аппроксимировать кривой с очень крутым наклоном в окрестности сос, т. е. считать, что везде равно нулю, кроме очень узкой полосы частот, в которой имеет постоянное значение. Таким образом, вместо формулы (VIII. 129) можно написать

Так как очень мало, то можно считать, что остается постоянным в интервале поэтому мы можем вынести эту функцию из-под знака интеграла. Таким образом, заменяя через получим

где — ордината

Мы видим, что в точке, в которой кривая имеет бесконечно большой наклон, фаза обращается в бесконечность (см. рис. VIII.20).

Полубесконечная логарифмическая характеристика с постоянным наклоном. В качестве примера, имеющего для нас большой интерес, рассмотрим

полубесконечную логарифмическую характеристику с постоянным наклоном, приведенную на рис. сохраняющую постоянное значение в области частот и имеющую постоянный наклон во всей остальной области.

Вычисление фазы в этом случае значительно сложнее, чем в двух предыдущих Однако можно показать что

где — точка сопряжения обоих прямолинейных отрезков, из которых состоит причем максимальная ошибка в определении по формулам (VIII.137) не превышает 2%.

Рис. VIII.21. Полубесконечная логарифмическая амплитудная частотная характеристика

Рассмотрение формулы (VIII.137) для показывает, что при приобретает уже почти постоянное значение, равное при равна половине своего асимптотического значения обладает в логарифмическом частотном масштабе нечетной симметрией относительно этой точки; при частотах в первом приближении можно считать, что фаза линейно зависит от частоты.

Действительно, если выражение (VIII.137) экстраполировать до (положив то 36,5°, между тем как точное значение в этой точке равно 45°, или Таким образом, погрешность не превышает 8,5°. При этом следует заметить, что почти во всей области частот погрешность значительно меньше, так как отклонение от линейности происходит в непосредственной окрестности точки