ГЛАВА XVIII. МЕТОД ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ КОРНЕВЫХ ГОДОГРАФОВ

Построение корневых годографов в плоскости связано с проведением очень большой вычислительной или графической работы. Трудоемкость расчета можно значительно уменьшить, если от корневых годографов в плоскости перейти к логарифмическим корневым годографам, т. е. к годографам, изображаемым в плоскости дб, где дб — модуль передаточной функции разомкнутой системы.

При изображении корневых годографов замкнутой системы в плоскости дб изменяемым параметром может служить только коэффициент усиления К по контуру этой системы, что несколько сужает область применимости логарифмических корневых годографов по сравнению с обычными. Однако большим преимуществом логарифмических корневых годографов является возможность строить их при помощи шаблонов и номограмм и в этом отношении они мало отличаются от обычных логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы (см. гл. XII).

Рис. XVIII. 1. Радиальная прямая в плоскости

Логарифмические корневые годографы сочетают в себе преимущества метода распределения корней и частотного метода (шаблоны, номограммы).

Для того чтобы обосновать методику построения логарифмических корневых годографов, рассмотрим сначала способ построения логарифмических амплитудной и фазовой комплексно-частотных характеристик элементарных передаточных функций, которые в качестве множителей входят в передаточную функцию разомкнутой системы. Амплитудная и фазовая комплексно-частотные характеристики какой-либо функции — это соответственно

графики модуля дб и аргумента в зависимости от при изменении независимой комплексной переменной вдоль некоторой радиальной прямой плоскости (рис. XVIII. 1).

1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСНО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Звенья Построим амплитудную и фазовую характеристики функции для случая, когда независимая переменная изменяется вдоль некоторой радиальной прямой. Положение радиальной прямой будем характеризовать коэффициентом , вычисляемым по формуле

где - угол, составленный радиальной прямой с отрицательным направлением действительной оси (рис. XVIII.1). В указанном случае независимая переменная может быть представлена в форме

или

где изменяется от 0 до Подставив в вместо выражение (XVII 1.2а), получим для модуля и аргумента функции следующие выражения:

Если по оси абсцисс откладывать модуль независимой переменной в логарифмическом масштабе, а по оси ординат — модуль в децибелах и аргумент в градусах, то по выражениям (XVII 1.3а) и (XVII 1.36) можно построить амплитудную и фазовую логарифмические характеристики функции соответствующие радиальной прямой (рис. XVIII.2а). Логарифмические характеристики функции показаны на рис. XVIII.2,б.

Логарифмические амплитудные комплексно-частотные характеристики рассматриваемых звеньев не зависят от положения радиальной прямой , вдоль которой изменяется независимая переменная и ничем не отличаются от обычных логарифмических амплитудных характеристик соответствующих частному случаю расположения радиальной прямой (случай ). Что касается фазовых комплексно-частотных характеристик, то их вид существенно зависит от расположения радиальной прямой , вдоль которой изменяется независимая переменная Показанные на рис. XVIII.2 фазовые комплексно-частотные характеристики

соответствуют случаям расположения радиальной прямой в верхней полуплоскости

Звенья первого порядка . Рассмотрим графики модуля и аргумента множителя при изменении вдоль некоторой радиальной прямой плоскости

Рис. XVIII.2. Логарифмические амплитудная и фазовая характеристики звеньев первого порядка

Другими словами, построим амплитудную и фазовую характеристики функции для случая, когда независимая переменная изменяется вдоль радиальной прямой (см. рис. XVIII. 1).

Определим сначала асимптотические свойства этой функции:

Отсюда находим уравнения асимптотических амплитудной и фазовой характеристик:

Асимптотические логарифмические амплитудные характеристики для всех радиальных прямых совпадают между собой; отличие от обычных логарифмических характеристик, соответствующих положительной части мнимой оси состоит лишь в том, что вдоль оси абсцисс откладывается (в логарифмическом масштабе) не

При построении фазовой комплексно-частотной характеристики будем различать два случая: случай расположения радиальной прямой в верхней полуплоскости т. е. над точкой изображающей корень и случай расположения радиальной прямой в нижней полуплоскости т. е. под точкой .

Рис. XVIII.3. Асимптотические амплитудная и фазовая характеристики звена соответствующие различным радиальным прямым в верхней полуплоскости

Для первого случая расположения прямой фазовый угол функции будем отсчитывать от положительного направления действительной оси против часовой стрелки и считать положительным (рис. XVIII.3), а для второго случая — по часовой стрелке и считать отрицательным (рис. XVIII.4,а и б).

Принятое соглашение в отсчете фазовых углов обеспечивает симметрию относительно оси абсцисс фазовых характеристик, соответствующих симметричным относительно оси абсцисс радиальным прямым . Как будет видно из дальнейшего, указанная симметрия позволяет строить фазовые характеристики передаточных функций для всех радиальных прямых при помощи комплекта шаблонов, изготовленного лишь для радиальных прямых, расположенных в верхней полуплоскости

Найдем поправки к асимптотической амплитудной характеристике добавление которых дает точные обобщенные характеристики левой ветви точной характеристики

получим при учете соотношения следующее выражение:

Переходя к измерению модулей в натуральных числах, находим

откуда

Рис. XVIII.4. Асимптотические амплитудная и фазовая характеристики звена , соответствующие различным радиальным прямым в нижней полуплоскости

Подставляя вместо выражение (XVIII.26), получим

или, окончательно,

Правая ветвь точной характеристики при учете (XVIII.56) может быть описана следующим выражением:

или в случае измерения модулей в натуральных числах

Учитывая формулу (XVIII.26), находим

или, окончательно,

Рис. XVIII.5. Графики поправок к асимптотическим логарифмическим амплитудным характеристикам типовых звеньев при изменении вдоль различных радиальных прямых

На рис. XVIII.5 для различных радиальных прямых построены по формулам (XVIII.7а) и (XVIII.76) поправки к асимптотической логарифмической амплитудной характеристике причем

с целью нормировки вдоль оси абсцисс откладывалась в логарифмическом масштабе величина (в этом случае излом асимптотической характеристики будет в точке ).

Отметим, что кривые поправок симметричны относительно вертикали, проходящей через точку излома асимптотической логарифмической амплитудной характеристики. Действительно, из рис. XVII 1.5 видно, что для точек оси абсцисс, расположенных на одинаковом расстоянии слева и справа от частоты отношение соответственно равно и Поскольку формула (XVIII.76) отличается от формулы (XVIII.7а) лишь тем, что вместо в ней фигурирует то для указанных симметричных точек оси абсцисс формулы (XVIII.7а) и (XVIII.76) дают одно и то же значение ординаты поправки.

Рис. XVII 1.6. Точная и асимптотическая комплексно-частотные фазовые характеристики звена

Рассмотрим теперь поправки к асимптотическим фазовым характеристикам Если в сок подставить значения независимой переменной которые она принимает при изменении вдоль радиальной прямой , т. е. то функцию сок можно записать в виде

Аргумент этой функции определяется формулой

На рис. XVIII.6 для некоторой радиальной прямой , расположенной в верхней полуплоскости показаны асимптотическая и точная комплексно-частотная логарифмические фазовые характеристики функции . По оси абсцисс, как и в предыдущем случае, здесь отложена в логарифмическом масштабе величина

Докажем, что точка С пересечения точной фазовой характеристики с вертикальным отрезком, соединяющим при частоте низкочастотную и высокочастотную асимптоты, делит этот отрезок пополам. Подставив в формулу получим следующее значение ординаты точной фазовой характеристики в точке

Если точка С находится в середине вертикального отрезка, то должно соблюдаться равенство и

Поскольку, как это видно из рис. XVIII.1, , условием нахождения точки С в середине вертикального отрезка является соблюдение равенства

При помощи несложных преобразований левой части легко убедиться в справедливости этого равенства. Докажем теперь, что точная фазовая характеристика симметрична относительно точки С. Согласно формуле (XVIII.8) фазовые углы соответствующие точкам — оси абсцисс, находящимся на одинаковом расстоянии слева и справа от точки определяются выражениями

Симметрия фазовой характеристики относительно точки С имеет место, если или Подставляя вместо выражения (XVIII.9) и (XVIII.10), убеждаемся в справедливости последнего равенства.

Вследствие симметрии точной фазовой характеристики относительно точки С ветвь последней слева от точки может быть получена прибавлением к низкочастотной асимптоте (а она совпадает с осью абсцисс) поправки, вычисленной по формуле (XVIII.8), а ветвь справа — путем вычитания из высокочастотной асимптоты точно такой же поправки. Отсюда видно, что

для различных радиальных прямых поправки к асимптотическим фазовым комплексно-частотным характеристикам функции имеют вид, показанный на рис. XVIII.7.

Рис. XVIII.7. (см. скан) Графики поправок к асимптотическим фазовым характеристикам типовых звеньев при изменении вдоль различных радиальных прямых

Легко доказать, что амплитудная и фазовая логарифмические комплексно-частотные характеристики функции

при изменении вдоль некоторой радиальной прямой представляют собой зеркальное отражение относительно оси абсцисс логарифмических характеристик функции соответствующих той же радиальной прямой.

Рассмотрим теперь звено вида Асимптотическая логарифмическая амплитудная характеристика этого множителя при изменении вдоль какой-либо радиальной прямой совпадает с асимптотической характеристикой звена Асимптотическая фазовая характеристика звена состоит из двух полубесконечных прямых, паралельных оси абсцисс.

При изменении в диапазоне асимптотическая фазовая характеристика представляет собой прямую, отстоящую от оси абсцисс на расстоянии , а при изменении в диапазоне со. — прямую, отстоящую от оси абсцисс на расстоянии (угол показан на рис. XVIII. 1).

Можно доказать, что если знак индексов кривых, изображенных на рис. XVIII.5, изменить на обратный, то эти кривые будут представлять собой поправки к асимптотическим логарифмическим амплитудным характеристикам звена Семейство поправок можно получить из семейства кривых (рис. XVIII.7), если эти кривые изобразить зеркально относительно оси абсцисс, а знак их индексов изменить на обратный.

Логарифмические амплитудная и фазовая характеристики звена представляют собой зеркальные отражения относительно оси абсцисс характеристик звена .

Целесообразно по форме кривых (рис. XVIII.5 и XVIII.7) изготовить комплект шаблонов, например, в масштабах:

по оси абсцисс — 1 декада мм;

по осям ординат — 1 дб .

Располагая шаблонами или графиками поправок, можно построить амплитудную и фазовую логарифмические характеристики любой функции соответствующие изменению вдоль любой радиальной прямой