4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ
В соответствии с данным выше общим определением уравнения (VI 1.6) передаточная функция
линейной стационарной системы динамического элемента представляет собой преобразование Лапласа от импульсной переходной функции, т. е.
Пользуясь формулой обращения преобразования Лапласа для систем, удовлетворяющих условию (VII. 15), можно также написать
Таким образом, передаточная функция
и импульсная переходная функция
определяются взаимно однозначно при помощи преобразования Лапласа и формулы его обращения. Передаточная функция
может быть найдена непосредственно по дифференциальному уравнению (VII. 10) без необходимости предварительного определения импульсной переходной функции
Действительно, преобразуем уравнение (VII. 11) по Лапласу. Учитывая, что согласно уравнению (VII.6) передаточная функция
является преобразованием Лапласа от импульсной переходной функции
и что (см., например [199])
на основании уравнения (VII.11) получим
Найденное выражение (VII.20) позволяет найти передаточную функцию
непосредственно по дифференциальному уравнению (VII. 10) системы. Передаточная функция, так же как и импульсная переходная функция, определяет переходный процесс
вызванный любым воздействием
Действительно предположим, что функция
удовлетворяет условиям
где с — абсцисса абсолютной сходимости и, следовательно, для нее существует преобразование Лапласа.
Предполагая для исходной системы уравнений случай нулевых начальных условий, умножая все члены уравнения (VII. 10) на
и интегрируя в пределах от 0 до
получим
где
Следовательно,
где
определяется выражением (VI 1.20) и, согласно данному выше определению, является передаточной функцией рассматриваемой системы. По формуле обращения
Подставляя выражение (VI 1.25) в (VI 1.26), найдем
Формула (VII.27) определяет при нулевых начальных условиях переходный процесс
вызванный любым воздействием
имеющим преобразование Лапласа
Если абсцисса абсолютной сходимости с в выражении (VII.21) равна нулю, т. е. все полюса
расположены в левой полуплоскости, то в формулах (VI 1.26) или (VI 1.27) можно положить
и мы получим выражение для
в виде интеграла Фурье:
или
где
— передаточная функция
системы, рассматриваемая при чисто мнимых значениях аргумента.
Выражение (VI 1.29) справедливо для устойчивых систем и для воздействий, удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости
Заметим, что, пользуясь выражением (VI 1.25), можно написать
и дать передаточной функции
определение, не зависящее от понятия импульсной переходной функции
Действительно, согласно выражению (VI 1.31), передаточной функцией
линейной стационарной динамической системы называется отношение преобразования Лапласа
величины
на ее выходе к преобразованию Лапласа
воздействия
на ее входе (при нулевых начальных условиях).
Поэтому передаточные функции могут рассматриваться как основные характеристики всякой линейной динамической системы.
Передаточные функции устойчивых динамических систем с сосредоточенными параметрами обладают следующими основными свойствами.
1. Передаточная функция
представляет собой дробно-рациональную функцию вида (VII. 20), причем порядок
числителя не превышает порядка
знаменателя. Это следует из того, что порядок числителя определяется минором
а порядок знаменателя — главным определителем
(см. формулу (IV.
системы уравнений (IV. 51).
2. Все коэффициенты
передаточной функции вещественны. Это следует из того, что они представляют собой функции от параметров системы, которые могут быть только вещественными.
3. Невещественные нули и полюсы передаточной функции могут быть лишь комплексно-сопряженными. Действительно,
предположим, что есть один из комплексных полюсов передаточной функции. Это означает, что при
знаменатель
передаточной функций
обращается в нуль, т. е.
Последнее равенство не нарушится, если в нем все комплексные числа заменить на сопряженные. Но все коэффициенты
будучи действительными, останутся при этом без изменения, и мы приходим к равенству
где через К обозначено число, комплексно-сопряженное
Таким образом, мы доказали, что невещественные полюсы передаточной функции могут быть лишь комплексно-сопряженными. Такой же вывод при помощи аналогичных рассуждений можно сделать и в отношении нулей передаточной функций.
4. Все полюсы передаточной функции
расположены в левой полуплоскости (условие устойчивости). Это вытекает из того, что для устойчивости динамической системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения
находились в левой полуплоскости. Заметим, что все полюсы функции
получающейся из
в результате замены переменной
на
в случае устойчивой системы расположены в верхней полуплоскости со.