ГЛАВА XIV. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Выше (в гл. XII) был изложен метод анализа устойчивости одноконтурных и многоконтурных систем, основанный на использовании логарифмических частотных характеристик, а также рассмотрены конкретные числовые примеры применения указанного метода.

В качестве примеров взяты системы автоматического регулирования и управления, описание которых было дано в главе III, а дифференциальные уравнения и передаточные функции были приведены в главе X.

1. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ ГИДРОТУРБИНЫ

Передаточная функция разомкнутой системы автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины, как системы с постоянными параметрами, может быть записана в виде

Подставив в уравнение (XIV. 1) вместо получим

Для удобства построения частотных характеристик передаточную функцию разомкнутой системы представим в виде

где

Если принять, что передаточные коэффициенты и постоянные времени, входящие в формулу, имеют следующие числовые значения [2]:

тогда передаточные функции можно записать в виде

Для того чтобы исследовать устойчивость рассматриваемой системы в замкнутом состоянии, определим, является ли она устойчивой в разомкнутом состоянии. Последнее будет иметь место, если функция не имеет нулей в правой полуплоскости или, другими словами, если устойчив ее внутренний контур.

Проанализируем устойчивость внутреннего разомкнутого контура системы по передаточной функции Для этого построим логарифмические амплитудную и фазовую 0а частотные характеристики по формуле (XIV. 4). Как видно из последнего выражения, передаточная функция состоит из пяти типовых звеньев: интегрирующего, дифференцирующего первого рода и трех апериодических.

На рис. XIV. 1 построена штрих-пунктирной линией характеристика передаточном коэффициенте Если или 11,2 дб, то логарифмическую амплитудную характеристику следует поднять вверх на эту величину. Соответствующая частотная характеристика построена на рис. XIV. 1 сплошной линией.

Фазовая частотная характеристика разомкнутого внутреннего контура определяется по формуле

Задаваясь числовыми значениями частот от 0,01 до 100, вычислим по формуле (XIV. 6) фазовые углы Откладывая полученные значения на полулогарифмической бумаге, получим логарифмическую фазовую характеристику системы (построена на рис. XIV. 1 сплошной линией). Как видно из этой фигуры, сдвиг фазы при частоте среза контура системы — составляет —156°. Значение фазы при частоте среза превышает фазу —180° на Это означает, что внутренний контур системы в замкнутом состоянии обладает запасом устойчивости по фазе, равным . Значение амплитуды при соответствует запасу устойчивости контура по модулю. Из рис. XIV. 1 видно, что запас устойчивости по модулю составляет дб.

Рис. XIV. 1. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики разомкнутого внутреннего контура системы автоматического регулирования скоростью вращения гидротурбины

При увеличении передаточного коэффициента внутреннего контура (или 20 дб) возрастает частота среза контура системы до Соответствующая этому передаточному коэффициенту логарифмическая амплитудная характеристика построена на рис. XIV. 1 штриховой линией. Из построения видно, что запас устойчивости по фазе и модулю дб. Это указывает на то, что внутренний контур системы в замкнутом состоянии при дб находится на границе устойчивости.

Для обеспечения надежной работы системы автоматического регулирования необходимо иметь некоторый положительный избыток фазы и отрицательный по модулю. На практике обычно принято брать для внутренних контуров следующие минимальные допустимые запасы устойчивости по фазе и модулю . Как мы видим, для дб и выбранных постоянных времени требуемые условия устойчивости по у и соблюдаются.

На устойчивость внутреннего контура влияет не только передаточный коэффициент, но и постоянные времени. Так, при увеличении постоянной времени изодрома повышается частота среза контура и возрастают запасы устойчивости по фазе и модулю.

С уменьшением постоянных времени серводвигателя увеличивается частота среза контура, соответственно с этим уменьшаются запасы устойчивости по фазе и модулю контура системы.

Рис. XIV.2. Обратные логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутого внутреннего контура системы автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины

Установив, что внутренний контур системы устойчив, перейдем к анализу устойчивости всей системы автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины. Для этого следует построить логарифмические амплитудные частотные характеристики разомкнутой системы в соответствии с формулой (XIV.3). При этом можно написать, что

и

Из формул (XIV.7) и (XIV.8) видно, что для получения результирующих частотных характеристик системы необходимо построить отдельно логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики для передаточных функций и затем произвести их алгебраическое сложение.

Для построения логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик воспользуемся номограммой, приведенной на рис. VIII.12, б. Эта номограмма была построена по передаточной функции вида

поэтому выражение необходимо преобразовать к виду (XIV.9).

(кликните для просмотра скана)

Нетрудно показать, что

Из последней формулы видно, что для получения логарифмических частотных характеристик, соответствующих выражениям (XIV.7) и (XIV.8), необходимо нанести на номограмму (рис. XIV.3) зависимость логарифма амплитуды и фазы обратной передаточной функции разомкнутого контура

Логарифмические частотные характеристики для обратной передаточной функции могут быть получены путем одновременного изменения знаков ординат логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик функции Иначе говоря, обратные логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики представляют собой зеркальное отображение относительно оси абсцисс обычных логарифмических частотных характеристик. Обратные логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики, полученные изложенным способом, приведены на рис. XIV.2.

Возьмем значения амплитуд и фаз функции из рис. XIV.2 и перенесем их в виде точек на номограмму рис. XIV.3. Соединяя эти точки плавной линией, получим обратную логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику внутреннего разомкнутого контура. Соответствующая кривая показана сплошной линией на рис. XIV.3. По точкам пересечения этой кривой со сплошными линиями номограммы найдем значения амплитудной характеристики замкнутого контура.

Перенеся эти значения на полулогарифмическую сетку, получим логарифмическую амплитудную частотную характеристику функции (рис. XIV.4). По точкам пересечения характеристики с пунктирными линиями рис. XIV.3 можно найти значения фазовых углов для замкнутого контура. Эта характеристика также построена на рис. XIV.4.

Из построенных на рис. XIV.4 логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик функции можно увидеть, что при больших значениях амплитуды [свыше — ] эти характеристики совпадают с обратными амплитудными и фазовыми частотными характеристиками разомкнутого контура. При малых значениях амплитуды [порядка дб] эти

характеристики значительно отличаются друг от друга. Положительные значения амплитуды стремятся к нулю децибел.

После построения частотных характеристик по передаточной функции перейдем к построению частотных характеристик

Рис. XIV.4. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики, построенные по передаточной функции гидротурбины

Рис. XIV.5. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики, соответствующие функции гидротурбины

Рассмотрим передаточную функцию колебательного звена

Приравняв нулю знаменатель передаточной функции

найдем корни Тогда передаточную функцию (XIV. 11) можно записать в следующем виде:

Имея в виду выражение (XIV. 12), передаточную функцию (XIV.5) перепишем в виде

Как видно из выражения (XIV. 13), в передаточную функцию входят: интегрирующее звено и пять ампериодических

звеньев. Построим логарифмическую амплитудную частотную характеристику при дб. Это построение выполнено на рис. XIV.5. Фазовая частотная характеристика вычисляется по формуле

Логарифмическая фазовая частотная характеристика показана на рис. XIV. 5 сплошной линией.

Для получения результирующих амплитудных и фазовых частотных характеристик произведем алгебраическое суммирование соответствующих частотных характеристик рис. XIV.4 и XIV.5, Эти характеристики построены на рис. XIV.6. Как видно из рис. XIV.6, при частоте среза сос — запас устойчивости системы по фазе составляет по модулю дб. Полученные запасы устойчивости по фазе и модулю несколько превышают минимально допустимые нормы, что показывает на достаточную степень устойчивости системы регулирования гидротурбины в замкнутом состоянии. Возможные изменения производственных допусков элементов системы регулирования при полученных запасах устойчивости мало сказываются на ее устойчивости и показателях качества. Последнее показывает, что система автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины обеспечивает высокую надежность ее работы при различных допусках на параметры элементов.

Рис. XIV.6. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутой системы автоматического регулирования скорости вращения гидротурбины

При создании аналогичных систем управления, проектировщика интересует влияние существенных отклонений параметров, вызываемых конструктивными изменениями ее элементов, на устойчивость системы автоматического регулирования. Значительнее увеличение передаточного коэффициента кг, например в 2 раза, приводит к уменьшению запаса устойчивости системы по фазе до и модулю до дб. Для того чтобы не изменились запасы устойчивости системы при значительном повышении коэффициента необходимо увеличить коэффициент обратной связи Уменьшение постоянных времен основного и вспомогательного гидравлических серводвигателей позволяет увеличить частоту среза системы без ухудшения условий ее устойчивости по фазе и модулю.