2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СТАТИЧЕСКИХ И АСТАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Системы автоматического регулирования принято подразделять на статические и астатическиев зависимости от того, имеют они или не имеют отклонение или ошибку в установившемся состоянии при воздействиях, удовлетворяющих определенным условиям.

Рис. VIII.3. Кривые переходного процесса в статической (кривая 2) и аста тической (кривая 3) системах в случае возмущающего воздействия (кривая 1)

Система регулирования называется статической по отношению к возмущающему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению (кривая 1, рис. VIII.3), отклонение регулируемой величины также стремится к постоянному значению, зависящему от величины воздействия (кривая 2).

Система автоматического регулирования называется астатической по отношению к возмущающему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, отклонение регулируемой величины стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия (кривая 3).

В статической системе зависимость установившегося значения регулируемой величины от установившегося значения воздействия изображается некоторой кривой, которая приближенно может быть заменена, по крайней мере для некоторого интервала установившихся значений воздействия, наклонной прямой линией (рис. VIII.4, а).

В случае астатических систем соответствующая зависимость изображается прямой, параллельной оси абсцисс (рис. VIII.4, б).

Согласно рис. VIII.4, а при изменении величины воздействия от нуля до некоторого регулируемая величина может изменяться от до . Одно из значений х в этом интервале, равное, например, среднему арифметическому

принимают за номинальное значение регулируемой величины, а статизмом или коэффициентом неравномерности называют величину

Рис. VIII.4. Зависимость установившегося значения регулируемой величины от установившегося значения воздействия для статической (а) и астатической (б) систем регулирования

Система автоматического регулирования называется статической по отношению к управляющему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, ошибка также стремится к постоянному значению, зависящему от величины управляющего воздействия (рис. VIII.5).

Рис. VII 1.5. Кривые изменения ошибки в статической (а) и астатической (б) системах

Следует подчеркнуть, что одна и та же система может быть статической по отношению, скажем, к какому-либо возмущающему

воздействию и астатической по отношению к управляющему воздействию и наоборот. Таким образом, если это может вызвать недоразумения, то следует указывать, в какой точке системы приложено воздействие, по отношению к которому последняя является статической или астатической. Так, в случае систем автоматической стабилизации управляющее воздействие сохраняет постоянное значение (оно может изменяться лишь при перенастройке регулятора), и возникает вопрос о том, является ли система статической или астатической по отношению к возмущающему воздействию [5].

В случае следящих систем, наоборот, интересуются обычно тем, является ли система статической или астатической по отношению к управляющему воздействию.

Найдем, какими свойствами должны обладать передаточные функции статических и астатических систем. Имея вначале в виду управляющие воздействия, рассмотрим первый член в правой части выражения (VIII. 13), т. е. положим, что

Согласно определению и теореме о конечном значении система является статической по отношению к управляющему воздействию, если

и астатической, если

при условии, что

Очевидно, что условие (VIII.32) удовлетворяется, если функция может быть представлена в виде

где

т. е. если функция имеет полюс первого порядка в начале координат.

Простейшим примером может служить функция представляющая собой, как известно, преобразование Лапласа для единичной ступенчатой функции.

Подставляя соотношение (VIII.33) в выражение (VI 11.30) и пользуясь теоремой о конечном значении, получим

Заметим, что выражение (VIII.34) стремится к постоянной личине, отличной от нуля, а система является статической, т. е. имеет ошибку в установившемся состоянии, если числитель и знаменатель функции имеют свободные члены, не зависящие от

Если же функция имеет нуль какого-либо порядка при то система является астатической, т. е. не имеет ошибки в установившемся состоянии.

Итак, система автоматического регулирования является стати ческой по отношению к управляющему воздействию, если передаточная функция ошибки обращается в постоянную величину при и астатической по отношению к управляющему воздействию, если передаточная функция ошибки имеет нуль какого-либо порядка при

Условимся говорить, что система имеет астатизм порядка, если передаточная функция ошибки имеет нуль порядка при

Покажем теперь, что в случае управляющих воздействий в виде полинома от система с астатизмом порядка либо не имеет статической ошибки, либо имеет статическую ошибку или безгранично возрастающую ошибку в зависимости от того, является ли степень полинома более низкой, равной или более высокой, чем порядок астатизма системы.

Действительно, пусть

и, следовательно,

Так как система обладает астатизмом порядка, то по определению

где

Найдем ошибку в установившемся состоянии. Принимая во внимание выражения можем записать

Из уравнения (VIII.38) видно, что при статическая ошибка равна нулю, при

а при

На практике широкое применение получили системы регулирования с астатизмом нулевого, первого и второго порядка по отношению к управляющим воздействиям, принадлежащие к классу следящих систем.

Согласно только что доказанному утверждению, следящие системы с астатизмом первого порядка не имеют ошибки в установившемся состоянии при единичном ступенчатом управляющем воздействии, но если управляющее воздействие изменяется с постоянной скоростью, т. е.

то они дают статическую ошибку

Точно так же следящие системы с астатизмом второго порядка не имеют ошибки в установившемся состоянии как при единичном ступенчатом управляющем воздействии, так и при воздействии, изменяющемся с постоянной скоростью, но если управляющее воздействие изменяется с постоянным ускорением, т. е.

то они дают статическую ошибку

Установим теперь, пользуясь формулой (VIII. 16), каким свойством должна обладать передаточная функция разомкнутой системы для того, чтобы замкнутая система имела астатизм требуемого порядка.

Далее отметим, что кратность нуля функции при равна кратности полюса функции при

Действительно, пусть функция имеет полюс кратности при т. е.

где

Подставляя выражение (VIII.40) в (VIII.16), получим для выражение

имеющее нуль кратности при

Имея теперь в виду, что порядок астатизма системы определяется кратностью нуля функции при мы можем высказать следующее утверждение. Для того чтобы система обладала астатизмом порядка по отношению к управляющему воздействию, ее передаточная функция в разомкнутом состоянии должна иметь полюс кратности при

Таким образом, в случае статических систем функция не имеет полюса в начале координат, в случае астатических систем первого порядка функция имеет простой полюс в начале координат, т. е. может быть представлена в виде

В случае астатических систем второго порядка функция имеет двукратный полюс в начале координат, т. е. может быть представлена в виде

Перейдем теперь к рассмотрению условий, при которых система регулирования является статической или астатической по отношению к возмущающему воздействию.

Преобразование Лапласа для отклонения регулируемой величины, вызываемого возмущающим воздействием, согласно уравнению (VIII. 19) определяется формулой

Применяя к уравнению (VII 1.44) те же рассуждения, которые были применены выше к формуле (VIII.29), и замечая, что в уравнении (VIII.44) вместо передаточной функции ошибки входит передаточная функция замкнутой системы мы легко придем к следующему выводу. Для того чтобы система автоматического регулирования являлась астатической системой порядка по отношению к возмущающему воздействию ее передаточная функция по отношению к этому воздействию должна иметь нуль кратности при

В заключение установим, пользуясь формулой

каким свойством должна обладать передаточная функция разомкнутой системы для того, чтобы замкнутая система имела астатизм требуемого порядка по отношению к возмущающему воздействию.

Отличие от случая, когда рассматривалась передаточная функция ошибки состоит в том, что в числитель выражения для входит функция Поэтому поведение функции в нуле определяется в отличие от поведением не только функции но и Учитывая это обстоятельство, можно сформулировать следующее правило.

Если передаточная функция объекта имеет полюс (или нуль) кратности х при то для того чтобы замкнутая система обладала астатизмом порядка по отношению к возмущающему

воздействию, передаточная функция разомкнутой системы должна иметь полюс кратности начале координат. Действительно, предположим, что

и

где

Пользуясь формулами (VIII.46) и (VIII.47), получим на основании (VIII.45) следующее выражение:

имеющее нуль кратности при что, как мы видели, является достаточным условием для того чтобы система обладала астатизмом порядка. В частном случае, когда передаточная функция объекта не имеет ни полюса, ни нуля в начале координат, порядок астатизма системы по отношению к возмущающему воздействию определяется, так же как и в случае управляющего воздействия, порядком полюса функции в начале координат.