12. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ОШИБКИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Выше, производя анализ в области комплексного переменного мы нашли формулы (VIII.10) и (VIII.11), определяющие преобразование Лапласа для отклонения регулируемой величины и для ошибки через передаточные функции замкнутой системы и преобразования Лапласа для воздействий. Интегральные соотношения, приведенные ниже, можно считать аналогами этих выражений в области вещественного переменного

Введем, помимо импульсной переходной функции соответствующей управляющему воздействию в виде единичного импульса, импульсную переходную функцию соответствующую возмущающему воздействию в виде единичного импульса. Мы можем написать

Если функции заданы аналитически, то импульсные переходные функции могут быть вычислены по формулам (VIII.138) и (VIII.139). Если же аналитические выражения для неизвестны, то можно определить экспериментально, приложив к системе автоматического регулирования соответственно управляющее или возмущающее воздействие в виде дельта-функции и регистрируя получающиеся при этом кривые изменения регулируемой величины.

Воспользовавшись теоремой умножения изображений, переходный процесс вызванный в системе автоматического регулирования воздействиями на основании формулы (VIII. 12) можно представить в следующем виде:

Так как ошибка регулируемой переменной определяется равенством

то, принимая во внимание уравнение (VIII. 140), мы можем написать

Точно так же на основании выражения (VIII.13) можем написать

где

В частном случае, когда точки приложения управляющего и возмущающего воздействий совпадают, можно написать

Выражение (VIII. 141) при этом сводится к виду

Аналогами выражений, определяющих преобразования Лапласа для отклонения регулируемой величины и для ошибки через передаточную функцию разомкнутой системы и преобразования Лапласа для воздействий в области вещественного переменного являются интегральные уравнения систем автоматического регулирования, которые могут быть получены следующим образом.

Введем в рассмотрение импульсные переходные функции разомкнутой системы и объекта соответствующие передаточным функциям разомкнутой системы и объекта

где и — соответствующие абсциссы абсолютной сходимости.

Если функции заданы аналитически, то импульсные переходные функции могут быть вычислены по формулам (VIII. 145) и (VIII. 146). Если же аналитические выражения для функций известны, то можно иногда определить экспериментально, приложив к разомкнутой системе автоматического регулирования соответственно управляющее или возмущающее воздействия в виде дельта-функции и регистрируя получающиеся при этом кривые изменения регулируемой величины.

Выражения (VIII. 10) и при могут быть переписаны следующим образом:

Применив теорему умножения изображений к формулам (VIII .147) и (VII 1.148), мы можем написать

и

Выражения (VIII. 149) и (VIII. 150) представляют собой искомые интегральные уравнения систем автоматического регулирования, определяющие в явном виде отклонение регулируемой величины и ошибку через воздействия и импульсные переходные функции

Заметим, что уравнения (VIII. 149) и (VIII.150) относятся к интегральным уравнениям второго рода типа Вольтерра, ядрами которых являются импульсные переходные функции