12. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ОШИБКИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Выше, производя анализ в области комплексного переменного
мы нашли формулы (VIII.10) и (VIII.11), определяющие преобразование Лапласа для отклонения регулируемой величины и для ошибки через передаточные функции замкнутой системы и преобразования Лапласа для воздействий. Интегральные соотношения, приведенные ниже, можно считать аналогами этих выражений в области вещественного переменного
Введем, помимо импульсной переходной функции
соответствующей управляющему воздействию
в виде единичного импульса, импульсную переходную функцию
соответствующую возмущающему воздействию
в виде единичного импульса. Мы можем написать
Если функции
заданы аналитически, то импульсные переходные функции
могут быть вычислены по формулам (VIII.138) и (VIII.139). Если же аналитические выражения для
неизвестны, то
можно определить экспериментально, приложив к системе автоматического регулирования соответственно управляющее или возмущающее воздействие в виде дельта-функции и регистрируя получающиеся при этом кривые изменения регулируемой величины.
Воспользовавшись теоремой умножения изображений, переходный процесс
вызванный в системе автоматического регулирования воздействиями
на основании формулы (VIII. 12) можно представить в следующем виде:
Так как ошибка
регулируемой переменной
определяется равенством
то, принимая во внимание уравнение (VIII. 140), мы можем написать
Точно так же на основании выражения (VIII.13) можем написать
где
В частном случае, когда точки приложения управляющего
и возмущающего
воздействий совпадают, можно написать
и
Выражения (VIII. 149) и (VIII. 150) представляют собой искомые интегральные уравнения систем автоматического регулирования, определяющие в явном виде отклонение регулируемой величины
и ошибку
через воздействия
и импульсные переходные функции
Заметим, что уравнения (VIII. 149) и (VIII.150) относятся к интегральным уравнениям второго рода типа Вольтерра, ядрами которых являются импульсные переходные функции