15. ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПО СОПРЯГАЮЩИМ ЧАСТОТАМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Покажем теперь, каким образом по виду логарифмической амплитудной частотной характеристики можно найти приближенное выражение преобразования Лапласа для ошибки (см. гл. VIII), позволяющее установить непосредственную связь между переходным процессом и постоянными времени системы [13].

Рассмотрим преобразование Лапласа для ошибки в виде

Заменяя в нем на можно написать

Обозначим через сос частоту среза логарифмической амплитудной характеристики, т. е. частоту, при которой

тогда в случае часто встречающихся логарифмических амплитудных характеристик, имеющих прямолинейный участок с наклоном (-20 дб/дк) в окрестности частоты среза сос и обладающих достаточным запасом устойчивости, приближенно можно положить

Итак, согласно двум последним выражениям приближенный вид (рис. XVI. 23) логарифмической амплитудной характеристики определяется выражениями

и

Таким образом, мы приходим к следующему правилу: для того чтобы получить приближенную формулу для функции необходимо ее приравнять выражению для обратной передаточной функции разомкнутой системы оставив в нем все множители в числителе и знаменателе, соответствующие сопрягающим частотам, меньшим частоты среза сос, и заменив все остальные множители, входящие в одним единственным множителем в ее числителе.

Преобразованную подобным образом функцию обозначим через Получив приближенное выражение для которое мы обозначим через изменение ошибки во времени можно представить при помощи выражения

Для некоторого уточнения результатов найдем отношение точного значения модуля функции к приближенному его значению при тогда имеем

и

Итак,

и

В первом приближении обычно можно предположить, что соотношение (XVI. 122) между точным значением модуля и приближенным его значением справедливо не только при , но и на всем интервале частот между сопрягающими частотами ближайшим к частоте среза (рис. XVI. 23).

Рис. XVI.23. Приближенный способ определения передаточной функции ошибки по логарифмической амплитудной характеристике

Эффект поправочного коэффициента определяемого формулой (XVI. 122), на изменение ошибки во времени можно учесть, умножив на него ординаты кривой полученной при помощи формулы (XVI. 119) в интервале значений времени — Итак, способ вычисления ошибки состоит из следующих шагов:

1) определяем, пользуясь сформулированным выше правилом, функцию исходя из заданной логарифмической амплитудной характеристики и полагая

2) вычисляем ошибку пользуясь формулой (XVI. 119);

3) вычисляем поправочный коэффициент пользуясь формулой (XVI. 122);

4) умножаем ординаты кривой на при значениях времени и плавно соединяем первоначальную и получившуюся кривые в окрестности значений равных

Рис. XVI.24. Логарифмическая амплитудная характеристика (а) и соответствующие ей кривые изменения ошибки: б — при единичном ступенчатом воздействии; в — при постоянной скорости

При этом отметим, что изложенный способ применим также к вычислению отклонения регулируемой величины имеющей преобразование Лапласа вида

а также к вычислению свободных колебаний при ненулевых начальных условиях.

Передаточная функция ошибки в выражении (XVI. 124) может быть найдена по логарифмической амплитудной характеристике так, как это было изложено выше.

Пример. Предположим, что передаточная функция разомкнутой системы определяется формулой

и что логарифмическая амплитудная характеристика, соответствующая формуле (XVI.125), имеет вид, изображенный на рис. XVI.24, а. Требуется найти выражение для при единичном ступенчатом воздействии, а также при воздействии в виде постоянной скорости. Согласно изложенному выше правилу

для образования функции нужно опустить последний сомножитель в знаменателе и ввести сомножитель в числитель, тогда

Следовательно, преобразование Лапласа для первого приближения функции при единичном ступенчатом воздействии имеет вид

или

так как (см. рис. XVI.124)

Итак, первое приближение для при единичном ступенчатом воздействии имеет вид

При воздействии в виде единичной постоянной скорости

тогда

Найдем теперь поправочный коэффициент пользуясь формулой (XVI.122). Подставляя выражения (XVI.125) и (XVI.126) для в (XVI.122), получим

Для уточнения результатов необходимо умножить значения функций определяемых формулами (XVI. 131) и (XVI. 133), на в интервале

На рис. XVI.24, б, в изображены соответственно кривые для случая, когда (рис. XVI.24, а)

Штриховые кривые соответствуют точному решению, штрих-пунктирные кривые дают первое приближение согласно формулам (XVI. 131) и (XVI.133), а сплошные кривые — приближенное решение с учетом поправочного коэффициента

Рассмотренный метод дает хорошие результаты при значениях отношения порядка 10 и выше. Это отношение пропорционально длине прямолинейного отрезка логарифмической амплитудной характеристики в окрестности частоты среза сос. Приведенное условие обычно удовлетворяется для достаточно высококачественных систем. При меньших значениях влияние комплексных корней характеристического уравнения замкнутой системы становится настолько значительным, что оно не может быть с достаточной точностью учтено при помощи чисто вещественного корня сос так, как это делается согласно изложенному выше методу.