6. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ МАЛЫХ ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЙ И НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ОТСУТСТВИЯ ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЙ
Мы только что видели, что наличие значительных по абсолютной величине пиков, или экстремумов, в вещественной частотной характеристике указывает на склонность системы к колебаниям с частотами, близкими к частотам, при которых имеют место экстремумы. Покажем теперь, что отсутствие экстремумов в функции 
наоборот, указывает на то, что переходный процесс 
происходит либо с незначительными колебаниями, либо вообще без колебаний. Для этого докажем следующую теорему.
Для того чтобы при единичном ступенчатом воздействии величина перерегулирования не превышала 18%, достаточно иметь вещественную частотную характеристику 
в виде положительной невозрастающей функции от 
(рис. XVI.7).
Доказательство этого критерия заключается в следующем.
Представим интеграл (XVI.41) в виде
Так как функция 
невозрастающая, то функция 
также невозрастающая. Отсюда легко видеть, что правая часть равенства (XVI.53) представляет знакопеременный ряд с невозрастающими по абсолютной величине членами. Следовательно, его сумма неотрицательна, т. е. 
при всех 
Кроме того, сумма ряда (XVI.53) не может превышать величины его первого члена, т. е.
или
или
Рис. XVI.7. Положительная невозрастающая вещественная частотная характеристика
Принимая теперь во внимание, что
и
вместо неравенства (XVI.54) можно написать
при всех 
, следовательно, теорема доказана.
Заметим, что примером вещественной частотной характеристики, удовлетворяющей сформулированному критерию, могут служить трапецеидальные частотные характеристики, являющиеся положительными невозрастающими функциями от 
. Для вещественной частотной характеристики, имеющей вид прямоугольника (рис. XVI.7) и обращающейся в нуль при 
неравенство (XV 1.55) для значения 
переходит в равенство, т. е. в этом
случае перерегулирование как раз равно 18%.
Сформулируем теперь необходимые условия для отсутствия перерегулирований. Рассмотрим функцию 
входящую в формулу (XVI. 23), где 
приведенная мнимая частотная характеристика. При воздействии в форме единичной функции последняя, как мы видели, сводится к мнимой частотной характеристике системы 
Таким образом, согласно выражениям (XVI.36)-(XVI.40), необходимые условия для отсутствия перерегулирований заключаются в том, чтобы функция удовлетворяла неравенствам
Для того чтобы пояснить применение некоторых из полученных выше выводов, рассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнением второго порядка:
В этом случае
и
Воспользуемся неравенством (XVI.56) для того, чтобы, не решая уравнения (XV 1.61), определить, при каких значениях 
возникают
перерегулирования в переходном процессе. Согласно неравенству (XVI.56) они должны иметь место при нарушении неравенства
На рис. XVI.8 построены кривые 
для различных 
Если кривая пересекает прямую (рис. XVI.8), то переходный процесс будет совершаться с перерегулированиями. Как видно из рис. XVI.8, при 
и 0,8 переходная функция 
обязательно имеет перерегулирования; при 
необходимое условие (XVI.63) для отсутствия перерегулирований удовлетворено.
Рис. XVI.8. Кривые для уравнения второго порядка
