9. ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОДНОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ

Анализ устойчивости линеаризованных систем автоматического регулирования по их логарифмическим частотным характеристикам представляет собой значительные удобства, прежде всего ввиду простоты построения этих характеристик непосредственно по виду

передаточной функции без необходимости каких-либо вычислений.

Выражение для передаточной функции разомкнутой одноконтурной системы (устойчивой в разомкнутом состоянии) определяется формулой (VIII. 152). Поэтому общее выражение для логарифмической амплитудной характеристики или характеристики затухания такой системы можно представить в следующем виде:

Выражение (XII. 56) показывает, что логарифмическая амплитудная характеристика или характеристика затухания одноконтурной системы может быть получена в результате простого сложения ординат рассмотренных нами выше характеристик затухания типовых звеньев, входящих в ее состав.

Пример. Построим логарифмические частотные характеристики системы, имеющей передаточную функцию вида

Прежде всего определим сопрягающие частоты, которые обратны по величине коэффициентам при (постоянном времени) в уравнении (Х 11.57). Имеем

Отметим сопрягающие частоты на оси частот (рис. XI 1.22) и построим характеристики затухания отдельных звеньев системы. Из уравнения (XI 1.57) видно, что система состоит из одного интегрирующего, четырех апериодических, двух дифференцирующих звеньев первого порядка (с одинаковыми постоянными времени) и одного усилительного звена.

Характеристика затухания интегрирующего звена представляет прямую, имеющую наклон — 20 дб на декаду и пересекающую ось частот при

Характеристикой затухания двух апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени сек является прямая с наклоном — 40 дб на декаду, сопрягающаяся с осью частот при Точно так же характеристиками затухания двух остальных апериодических звеньев являются прямые с наклоном — 20 дб на декаду, сопрягающиеся с осью частот при

Характеристикой затухания двух дифференцирующих звеньев с одинаковой постоянной времени сек является прямая с наклоном дб на декаду, сопрягающаяся с осью частот при Логарифмическая амплитудная характеристика усилительного звена представляет собой прямую, удаленную от оси частот на расстояние .

Произведя алгебраическое сложение ординат логарифмических амплитудных характеристик отдельных звеньев, получим результирующую логарифмическую амплитудную характеристику системы в виде сопрягающихся друг с другом прямолинейных отрезков.

Вид можно уточнить, воспользовавшись кривой поправок на рис. VIII, 27, а для каждой из сопрягающих частот. При этом необходимо учитывать, что в случае наличия двух одинаковых постоянных времени ординаты кривой поправок должны удваиваться. Далее заметим, что логарифмическая амплитудная характеристика системы может быть получена непосредственно по виду передаточной функции без необходимости построения логарифмической амплитудной характеристики отдельных звеньев.

Для этого необходимо лишь учесть, что при частотах, меньших первой сопрягающей частоты логарифмическая амплитудная характеристика системы — это прямая с наклоном, равным наклону логарифмической амплитудной характеристики интегрирующего звена, т. е. — 20 дб на декаду, так как логарифмическая амплитудная характеристика всех остальных звеньев при имеет нулевой наклон. Эта прямая должна быть проведена так, чтобы при ее ордината равнялась дб.

При на характеристику затухания интегрирующего звена, имеющую наклон — 20 дб на декаду, накладывается характеристика затухания двух апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени, имеющая наклон — 40 дб на декаду. Поэтому в интервале имеет наклон на декаду.

При начинает сказываться эффект двух дифференцирующих звеньев с одинаковыми постоянными времени. Поэтому наклон в интервале делается равным —20 дб на декаду.

Рис. XII.22. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики

При наклон вследствие влияния апериодического звена с постоянной времени возрастает до —40 дб на декаду и при со наклон вследствие влияния апериодического звена с постоянной времени возрастает еще на 20 дб на декаду и делается равным на декаду.

Фазовая характеристика изображенная на рис. XI 1.22, получена при помощи сложения ординат фазовых характеристик отдельных звеньев.

Таким образом, можно сформулировать следующие правила построения логарифмической амплитудной характеристики одноконтурной системы:

1) сначала определяем сопрягающие частоты и отмечаем их вдоль оси частот;

2) затем проводим низкочастотную асимптоту логарифмической амплитудной характеристики представляющую собой при прямую с наклоном дб на декаду, где — порядок астатизма системы. Эта прямая при должка иметь ординату, равную где К — передаточный коэффициент;

3) после каждой из сопрягающих частот изменяем наклон характеристики затухания по сравнению с тем наклоном, который она имела до рассматриваемой сопрягающей частоты

в зависимости от того, какому звену эта сопрягающая частота соответствует.

Наклон изменяется на —20 дб, —40 дб и +20 дб на декаду соответственно в случаях апериодического, колебательного и дифференцирующих звеньев первого порядка, а также на дб на декаду в случае дифференцирующего звена второго порядка;

4) пользуясь крвдыми поправок на рис. VIII,27, а и VIII.33, уточняем полученной таким образом характеристики затухания системы.

Примечание. Высокочастотная асимптота характеристики затухания т. е. ее часть при частотах, больших наивысшей сопрягающей частоты, должна иметь наклон, равный дб на декаду, где — порядок знаменателя, — порядок числителя передаточной функции

Выражение для фазовой частотной характеристики соответствующей логарифмической амплитудной характеристике (XII. 56), цмеет вид

Последнее выражение показывает, что фазовые характеристики, так же как и логарифмические амплитудные характеристики одноконтурных систем, могут получены в результате простого сложения ординат фазовых характеристик типовых звеньев, входящих в их состав.

При построении фазовых характеристик апериодических и дифференцирующих звеньев первого порядка удобно пользоваться номограммой, приведенной на рис. VIII. или шаблоном, изготовленным в соответствии с кривой (рис. VIII. 40). Для приближенного построения фазовых характеристик колебательных И дифференцирующих звеньев второго порядка удобно располагать комплектом шаблонов, соответствующих различным значениям -Часто при вычислении фазовых характеристик полезными оказываются приближенные формулы, приреденные в § 14 и 15, гл. VIII.