7. КРИТЕРИЙ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЙ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ МОНОТОННОСТИ

Рассмотр им достаточные (но не необходимые) условия для того, чтобы переходный процесс, определяемый формулой (XVI.41), протекал монотонно и, следовательно, вообще без колебаний. Эти условия определяются следующей теоремой.

Для того чтобы переходный процесс, определяемый выражением (XVI.41), протекал монотонно, достаточно иметь вещественную частотную характеристику в виде непрерывной положительной функции от с отрицательной и монотонно возрастающей (убывающей по абсолютной величине) производной (рис. XVI.9). Для доказательства этого представим вещественную частотную характеристику в виде суммы достаточно большого числа прямолинейных наклонных или треугольных характеристик (рис. XVI. 10):

Это можно сделать, заменив рассматриваемую вещественную частотную характеристику прямолинейными сопрягающимися

отрезками и продолжив каждый из них до оси ординат (рис. XVI. 10). Заметим далее, что интервал частот занимаемый каждой предыдущей характеристикой меньше, чем для последующей.

Итак,

причем

Рис. XVI.9. Вещественная частотная характеристика, которой соответствует монотонная переходная функция

Рис. XVI.10. Разложение монотонно убывающей функции на сумму треугольных характеристик

Введем теперь в рассмотрение переходные функции

соответствующие прямолинейным наклонным характеристикам

Подставляя формулу (XVI.64) в (XVI.65), получим

Дифференцируя левую и правую части равенства (XVI.66), найдем

и, следовательно,

при всех причем когда

Из неравенства (XVI.67) и выражения согласно теореме о конечном значении следует, что функция монотонно

возрастает и асимптотически стремится к своему предельному значению Итак, функция представляющая собой сумму монотонно возрастающих функций, является также монотонно возрастающей, асимптотически стремящейся к своему предельному значению, равному

Необходимые условия для монотонности. Согласно сформулированному в § 2 критерию для монотонности переходного процесса, вызванного единичной ступенчатой функцией при нулевых начальных условиях, необходимо (но не достаточно) удовлетворение следующих условий:

Рис. XVI.11. Вещественные частотные характеристики и необходимые условия для монотонности

1. Абсолютные значения, которые принимает вещественная частотная характеристика при всех со 0, должны быть меньше, чем ее начальное значение при т. е.

Из неравенства (XVI.68) следует, что кривой 1 (рис. XVI.11) соответствует заведомо немонотонный процесс.

2. Удвоенная площадь, ограничиваемая кривой и осью частот при должна быть меньше площади прямоугольника с основанием, равным интервалу частот на котором , и высотой, равной начальной ординате Р (0), т. е.

Последнему условию не удовлетворяет, например, кривая 2, и, следовательно, соответствующий ей переходный процесс является немонотонным.

3. Вещественная частотная характеристика должна удовлетворять неравенству

где при данном со означает наименьшее из целых чисел, превышающих величину.

График ступенчатой функции

изображен на рис. XVI.11. Кривой 3 (см. рис. XVI.11) соответствует немонотонный процесс, так как она не удовлетворяет условию (XVI.70), а кривой 4 соответствует монотонный процесс.

Рис. XVI. 12. Кривые для уравнения второго порядка

Воспользуемся неравенством (XVI.70) для того, чтобы, не решая уравнения (XVI.61), определить, при каких значениях переходный процесс является заведомо немонотонным.

Выражение для частотной характеристики в данном случае имеет вид

Согласно условию (XVI.70), переходный процесс не будет совершаться монотонно, если нарушается неравенство

Кривые вычисленные по формуле (XVI.73) для различных значений , изображены на рис. XVI. 12. При и 0,6 кривые выходят из границы области, определяемой условием (XVI.70),

и, следовательно, соответствующие переходные функции не удовлетворяют критерию монотонности.

Выводы, полученные на основании рассмотрения рис. XVI. 12, подтверждаются видом переходных функций, соответствующих уравнению (XVI.61) (см. рис. XVI. 13).

Определим теперь, при каких значениях переходная функция соответствующая уравнению (XVI.61), будет заведомо выходить из области допустимых значений (см. рис. XVI. 1) при Для этого построим разностные частотные спектры для нескольких значений определяемые формулой (XVI. 15), положив в ней Эти кривые изображены на рис. XVI. 14.

Рис. XVI. 13. Переходные функции для уравнения второго порядка

Рис. XVI. 14. Разностные частотные спектры для уравнения второго порядка

Кривая 1 не удовлетворяет условиям (XVI.68)-(XVI.71), а кривая 2 не удовлетворяет условию (XVI.71). Следовательно, этим разностным частотным спектрам соответствуют переходные функции, выходящие из пределов области допустимых значений (см. рис. XVI. 1).

Рассмотренные примеры относятся к простому случаю уравнения второго порядка. Однако при повышении порядка уравнения применение приведенных выше признаков, позволяющих «отсортировывать» неудовлетворительные системы, не усложняется, если только известен частный спектр процесса или частотные характеристики системы.