8. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПО ИХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

Пользуясь критериями устойчивости для обычной амплитуднофазовой характеристики, легко сформулировать требования, которым должны удовлетворять логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы для того, чтобы она была устойчива в замкнутом состоянии.

Рассмотрим прежде всего простейший случай, когда амплитуднофазовая характеристика системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, не имеет точек пересечения с отрезком действительной оси (амплитудно-фазовая характеристика первого рода; рис. XII.11, кривая Легко видеть, что в рассматриваемом случае система является устойчивой в том, и только в том случае, если всем точкам амплитудно-фазовой характеристики вплоть до точки ее пересечения с окружностью единичного радиуса соответствуют значения

фазы 0, большие чем Но точке пересечения амплитудно-фазовой характеристики с окружностью единичного радиуса соответствует точка пересечения логарифмической амплитудной характеристики с осью частот (так как Поэтому можно высказать следующее утверждение.

Для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая амплитудно-фазовую характеристику первого рода, была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно на тех частотах, при которых логарифмическая амплитудно-частотная характеристика неотрицательна, т. е. иметь значения фазы не превосходящие . На рис. XII. 20, а, б приведены соответственно логарифмические характеристики устойчивой и неустойчивой систем.

Рис. XII.20. Логарифмические характеристики устойчивой и неустойчивой системы

Рассмотрим более общий случай, когда амплитудно-фазовая характеристика системы, по-прежнему предполагаемой устойчивой в разомкнутом состоянии, имеет точки пересечения с отрезком действительной оси (амплитудно-фазовая характеристика второго рода, рис. XII.11, кривая II).

В данном случае, как это было показано в § 6 настоящей главы, система устойчива в замкнутом состоянии в том случае, если разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов амплитудно-фазовой характеристики отрезка равна нулю.

Но в точках пересечения амплитудно-фазовой характеристикой отрезка логарифмическая амплитудная характеристика положительна, а фазовая характеристика пересекает прямую снизу вверх или сверху вниз в зависимости от того, соответствует ли рассматриваемая точка пересечения положительному или отрицательному переходу. Поэтому, если условиться называть точку, в которой фазовая характеристика пересекает прямую снизу вверх, положительным переходом, а точку, в которой она пересекает эту прямую сверху вниз, отрицательным переходом, то критерий устойчивости применительно к логарифмическим частотным характеристикам можно сформулировать следующим образом. Для того

чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно иметь разность между числом положительных и отрицательных переходов, между фазовой характеристикой и прямой равную нулю, ко при тех значениях со, для которых логарифмическая амплитудная характеристика неотрицательна [7].

Так, например, если логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы имеют вид, графически изображенный на рис. XII. 21 а, и разомкнутая система устойчива (или нейтрально устойчива, т. е. имеет полюс в начале координат), то замкнутая система будет также устойчивой. Последнее екает из того, что при фазовая характеристика имеет, как видно из рис. XII. 21, а, один положительный и один отрицательный переход.

Рис. XII.21. Логарифмические частотные характеристики разомкнутых систем: а — устойчивой в замкнутом состоянии (); б — неустойчивой в замкнутом состоянии

Сформулируегл полученный критерий для более общего случая, когда система в разомкнутом состоянии неустойчива и характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет Р корней в правой полуплоскости. Так как в этом случае условие устойчивости для обычной амплитудно-фазовой характеристикй заключается в том, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой характеристикой отрезка равнялась то можно высказать следующее утверждение Для того чтобы система, характеристическое уравнение которой в разомкнутом состоянии имеет Р корней в правой полуплоскости, была устойчива в замкнутом состоянии, необходймо и достаточно иметь число положительных переходов между фазовой характеристикой и прямой , превышающих на величину число отрицательных переходов, но для тех значений , при которых логарифмическая амплитудная частотная характеристика неотрицательна.

Пример применения этого критерия приведен на рис. XII. 21, б. Если система должна быть не только устойчивой, но и обладать требуемым запасем устойчивости по модулю и по фазе, равным у, то, кроме удовлетворения только что сформулированного критерия, требуется выполнение следующих дополнительных условий:

1) при тех значениях со, при которых

где

отрицательные значения фазы должны удовлетворять неравенству

2) при тех значениях , при которых

логарифмическая амплитудная характеристика должна удовлетворять одному из неравенств

Итак, для анализа устойчивости по логарифмическим характеристикам следует построить логарифмические амплитудную и фазовую характеристики; найти интервалы частот, в которых логарифмическая амплитудная характеристика сосчитать в найденных таким образом интервалах частот число пересечений фазовой Характеристики с прямой снизу вверх (плюс) и сверху вниз (минус). Если при этом окажется, что разность между числом точек пересечения, отмеченных знаком плюс, и числом точек, отмеченных знаком минус, равна то система устойчива. Если же эта разность равна какому-либо другому числу, то система неустойчива.

Заметим, что в случае астатических систем при подсчете числа Трчек пересечения необходимо учитывать точку пересечения (или касания) амплитудно-фазовой характеристикой отрезка получающуюся при бесконечно малых значениях .