3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ КОРНЕВЫЕ ГОДОГРАФЫ

Корневые годографы дают картину распределения корней замкнутой системы в плоскости а также представление о движении корней при изменении параметров системы. Недостатком корневых годографов обычного вида является, как уже отмечалось, большая трудоемкость их построения.

Рассматриваемые в настоящем параграфе корневые годографы определяются несколько иначе, а именно, корневым годографом считается кривая в прямоугольной системе координат (по осям координат величины откладываются в логарифмическом масштабе), любая точка которой при соответствующем коэффициенте усиления разомкнутой системы характеризует корень или пару корней замкнутой системы (определяют величину действительного корня или параметры пары комплексных сопряженных корней). Такого вида корневой годограф будем называть логарифмическим корневым годографом.

Действительные ветви. Действительными ветвями логарифмического корневого годографа являются те участки логарифмической амплитудной характеристики которым соответствует фазовый сдвиг кратный в нечетное число (на рис. XVIII.9 эти участки изображены утолщенными линиями). Для точек пересечения действительных ветвей с осью абсцисс соблюдаются оба условия (XVIII. 12) образования корней замкнутой системы. Поскольку рассматриваются логарифмические характеристики для случая, когда принимает действительные отрицательные значения, абсциссы указанных точек пересечения, взятые с обратным знаком, равны действительным корням замкнутой системы.

При изменении коэффициента усиления разомкнутой системы ось абсцисс на графике логарифмической амплитудной характеристики смещается в вертикальном направлении (вверх — при уменьшении и вниз — при увеличении , а фазовая характеристика остается неизменной. Поэтому при изменении действительные отрицательные корни не только изменяются по модулю, но могут исчезать. Например, при

коэффициенте усиления действительные корни сливаются в двухкратный действительный корень рис. XVIII.9). При коэффициенте усиления меньшем эти действительные корни исчезают (переходят в пару комплексных сопряженных корней).

Комплексные ветви. Предположим, что коэффициент усиления уменьшаясь, сделался меньше, чем (см. рис. XVIII.9). Тогда, как уже отмечалось, двукратный действительный корень переходит в пару комплексных сопряженных корней:

где — недемпфированная частота, относительный коэффициент демпфирования корней. Если в формуле (XVIII.17) положить то опять получим двукратный действительный корень вследствие чего точка на характеристике соответствующая этому корню, отмечена индексом (см. рис. XVIII.9). Эту точку можно рассматривать как начало комплексной ветви логарифмического корневого годографа, т. е. ветви, представляющей комплексные сопряженные корни (XVIII. 17) замкнутой системы.

Комплексная ветвь строится так, чтобы какой-либо точке ее пересечения с горизонталью (последняя изображает положение оси абсцисс при коэффициенте усиления разомкнутой системы соответствовала абсцисса, равная значению недемпфированной частоты а сама точка была бы отмечена индексом равным относительному коэффициенту демпфирования комплексных корней (XVIII. 17) (коэффициент фигурирует на комплексной ветви в качестве параметра).

Примерное расположение комплексных ветвей корневого годографа можно установить, располагая амплитудной и фазовой логарифмическими характеристиками лишь для двух радиальных прямых, а именно, для прямой (отрицательная часть действительной оси) и для прямой которой соответствуют обычные логарифмические частотные характеристики. Началом и концом комплексной ветви могут служить точки экстремума действительных ветвей логарифмического корневого годографа (см., например, комплексную ветвь на рис. XVIII.9). Чаще, однако, один конец комплексной ветви располагается в точке экстремума действительной ветви, а другой — асимптотически приближается к некоторой прямой (см. ветвь на рис. XVIII.9).

Примерное расположение комплексной ветви, идущей вниз от точки минимума действительной ветви, можно определить следующим образом. Отметим на логарифмической амплитудной характеристике о точку которой соответствует и соединим эту точку с точкой минимума действительной ветви. Полученная линия указывает примерное расположение комплексной ветви, соответствующей корням с отрицательной

вещественной частью, а ее продолжение вниз за точку корням с положительной вещественной частью. При отсутствии точки комплексная ветвь стремится к высокочастотной части асимптотической характеристики ветвь на рис. XVIII.9).

Если знаменатель передаточной функции содержит в качестве множителя квадратичный трехчлен то логарифмический корневой годограф имеет комплексную ветвь, верхний конец которой асимптотически приближается к вертикали, пересекающей ось абсцисс в точке При этом индекс являющийся параметром, стремится к Действительно, при корни характеристического уравнения замкнутой системы становятся равными корням характеристического уравнения разомкнутой системы, среди которых имеются комплексные корни Помимо рассмотренных, могут встретиться и другие случаи расположения комплексных ветвей. Здесь они не рассматриваются, так как на практике встречаются относительно редко.

Точное положение промежуточных точек комплексных ветвей корневого годографа можно найти путем построения комплексночастотных характеристик разомкнутой системы, соответствующих различным радиальным прямым .

Построив эти характеристики, отмечаем на логарифмических амплитудных характеристиках для различных радиальных прямых точки, которым соответствует фазовый сдвиг (для той же радиальной прямой равный 180°. Если совместить все амплитудные комплексно-частотные характеристики на одном чертеже и соединить найденные указанным способом точки, то получим кривую, которая и является комплексной ветвью логарифмического корневого годографа. Действительно, при различных коэффициентах усиления К разомкнутой системы ось абсцисс логарифмической амплитудной характеристики будет пересекать указанную ветвь корневого годографа в различных точках, причем для всех этих точек соблюдаются условия (XVIII. 12) образования корней замкнутой системы. Недемпфированная частота корней равна абсциссе точки пересечения, а коэффициент — параметру комплексной ветви, отмечающему эту точку пересечения.

Точное положение комплексных ветвей можно установить также способом, иллюстрируемым на рис. XVII 1.9. Способ заключается в переносе на чертеж точек комплексных ветвей, выявляемых в результате построения логарифмических комплексных характеристик снизу от характеристик (см. точки на комплексных ветвях рис. XVIII.9).