4. Д-РАЗБИЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ДВУХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ (ДИАГРАММА ВЫШНЕГРАДСКОГО)

Диаграммой Вышнеградского принято называть плоскость каких-либо двух действительных параметров системы с нанесенной на ней линией, отделяющей устойчивости. Она может быть получена, следовательно, построением Д-разбиения плоскости двух действительных параметров

Положим, что в характеристическом уравнении системы

коэффициенты линейно зависят от двух параметров

Ограничимся случаем, когда уравнение (XII 1.7) можно привести к виду

Например, уравнение

можно записать следующим образом:

здесь

Для того чтобы отобразить мнимую ось плоскости корней на плоскость надо подставить в рассматриваемое уравнение к и для любого — найти , при которых левая часть уравнения обращается в нуль. Для этого подставим значение и отделим затем в уравнении действительную и мнимую части:

В общем случае обе функции завися не только от со, но и от параметров .

Для построения границы Д-разбиения надо для каждого со определить , при которых левая часть уравнения обращается в нуль, т. е. решить совместно относительно два уравнения:

Отделяя в каждом из них члены, содержащие , находим и

Решая эту систему уравнений с двумя неизвестными, получаем

Для каждого можно подсчитать и а значит и найти в плоскости точку, соответствующую этому . Изменяя , получим некоторую кривую в плоскости Если в системе (XIII. 7) первым является уравнение а вторым и если в обоих уравнениях — первое, второе по начертанию неизвестное, то система координат должна быть правой: ось — осью абсцисс с отсчетом положительных значений вправо, а ось — осью ординат с отсчетом положительных значений вверх.

Уравнения определяет одно значение для каждого со только в том случае, если они совместны и независимы, для этого необходимо, чтобы одновременно не были равны нулю определители

В противном случае решения неопределенны, и это свидетельствует о том, что одно уравнение является следствием второго уравнения.

В плоскости каждое из уравнений при фиксированном определяет прямую. Координаты точки пересечения этих двух прямых и являются решением уравнений относительно при

Если или то прямые совпадают. Следовательно, всем значениям со, при которых указанные определители обращаются в нуль, соответствует в плоскости не точка, а прямая линия.

Любое из уравнений системы (XIII. 8) при подстановке значения со, обращающего А в нуль, является в данном случае уравнением этой прямой.

При подстановке (или ) в уравнение в его левой части остается только свободный член (или коэффициент старшего члена). Если при этом получается выражение вида , то это свидетельствует о том, что соответствующая особая прямая вся лежит в бесконечности и вычерчивать ее не нужно. Эти прямые называются особыми. Без доказательства сформулируем правило штриховки границы Д-разбиения и особых прямых.

При движении по границе Д-разбиения она штрихуется слева в тех точках, для которых , и справа — при . Точка по кривой пробегает дважды: первый раз при изменении от 0 до , а второй раз — при изменении от до 0, но штрихуется оба раза с одной и той же стороны, так как знак А меняется при или

Рис. XIII.6. Примеры штриховки особых прямых

Через эти точки чаще всего проходят особые прямые. Их штрихуют в этом случае так, как показано на рис. XIII. 6, а,б. Вблизи точки пересечения кривой и прямой их заштрихованные и незаштрихованные стороны направлены друг к другу.

Рис. XIII.7. Пример штриховки особой прямой при изменении знака А

Рис. XIII.8. Пример, когда особая прямая не штрихуется

Далее, вдоль прямой направление штриховки не меняется.

Если знак А меняется в точке то через эту точку также всегда проходит особая прямая, которую штрихуют двойной штриховкой (рис. XIII. 7).

Может случиться, что с ростом в точке обращается в нуль определитель А, но далее с ростом он знака не меняет. Если через точку проходит особая прямая, то в этом случае ее не штрихуют (рис. XIII. 8).

После того как граница Д-разбиения и особые прямые построены и штриховка нанесена, производят разметку областей. Область устойчивости выделяют так как при построении области устойчивости в плоскости одного комплексного параметра.

Пример 1. Рассмотрим классическую задачу об устойчивости прямого регулирования, решенную Вышнеградским. Характеристическое уравнение системы имеет вид

Построим Д-разбиение плоскости для этого перепишем уравнение в виде

и, подставив получим

или

откуда

Определитель этой системы

Последний будет равен нулю только при

Для любого

а кривая Д-разбиения представляет собой равнобокую гиперболу (рис. XIII.9).

Точка лежит в бесконечности на оси а точка и — в бесконечности на оси Определитель А меняет знак в точке Поэтому гиперболу штрихуем дважды. При свободный член характеристического уравнения и коэффициент при его старшем члене не зависят ни от ни от Следовательно, в данном случае особых прямых нет.

Переход через дважды заштрихованную кривую Д-разбиения соответствует изменению знака действительных частей одновременно двух (комплексных сопряженных) корней характеристического уравнения. При уравнение обращается в этом случае оно имеет один корень слева от мнимой оси и два корня справа. Следовательно, область А является областью устойчивости.

Рис. XIII.9. Граница - разбиения задачи устойчивости прямого регулирования

Пример 2. Определить постоянные времени и коэффициенты усиления одноемкостных объектов, которые можно устойчиво регулировать регулятором прямого действия, имеющим постоянную времени сек, постоянную времени демпфирования сек и коэффициент усиления

Напишем уравнения движения:

объекта

и регулятора

где по условию примера

Обозначим Требуется построить область устойчивости в плоскости

Характеристическое уравнение

после замены на сводится к виду

которое можно разделить на два уравнения:

В данном случае

поэтому

Следовательно:

Определитель А обращается в нуль, кроме , лишь при при этом как так и Следовательно, при и особых прямых нет.

Приравнивая нулю свободный член и коэффициент при старшем члейе характеристического уравнения, получим уравнение двух особых прямых: для или для или

На рис. XIII. 10 показаны эти прямые с нанесенной штриховкой, а также область устойчивости. Проверять распределение корней для какой-либо одной точки области нет необходимости, так как наличие области устойчивости в плоскости не. вызывает сомнений. Если бы, однако» была необходимость в такой проверке, то ее можно было бы сделать, например, для точки . В этой точке уравнение имеет один бесконечно большой корень и два корня

с отрицательной действительной частью. Сходя с этой точки в заштрихованную область сходим с особой прямой, соответствующей в сторону штриховки. В плоскости корней из бесконечности корень перемещается в конечную часть плоскости слева от мнимой оси. Следовательно, каждой точке заштрихованной области соответствуют полиномы, имеющие все три корня с отрицательной частью, т. е. заштрихованная область является областью устойчивости.

Пример 3. Выясним в общем виде изменение области устойчивости в плоскости «постоянная времени чувствительного элемента — постоянная времени демпфера» для обычного изодромного регулятора. Напишем уравнения движения: регулируемого объекта

чувствительного элемента

серводвигателя

и, наконец, изодрома

Рис. XIII.10. Граница Д-разбиения для системы с регулятором, имеющим

Характеристическое уравнение этой системы

Перепишем это уравнение так:

где

Пусть

тогда, подставляя в характеристическое уравнение получим

или

которые можно переписать так:

Определитель этой системы

обращается в нуль только при Но в силу рассматриваемых уравнений особая прямая, соответствующая , вся лежит в бесконечности и интереса не представляет.

Значению соответствует особая прямая т. е. ось . Решая полученную систему, находим

Обозначим

тогда

Выше было обозначено

следовательно,

или

Подставляя эти значения вычисленные выражения для найдем

Рис. XIII.11. Кривая

Рис. XIII.12. Кривая при соблюдении соотношения

Кривая показана на рис. XIII.11.

Если

то с изменением меняется в соответствии с рис. XIII.12, а при обратном знаке неравенства с рис. XIII.13.

В соответствии с рис. XIII.11 и XIII.13 на рис. XIII.14 построено Д-раз-биение для случая, когда

Возможная область устойчивости выделена вертикальной штриховкой. В этом случае в первом квадранте заведомо нет точек, принадлежащих области устойчивости.

Рис. XIII.13. Кривая при соблюдении соотношения

Рис. XIII. 14. Граница Д-разбиения

Рис. XIII. 15. Граница Д-разбиения

Если

то в соответствии с рис. XIII. 11 и XIII. 12 Д-разбиение плоскости Тк имеет вид, показанный на рис. XI 11.15.

При этом в первом квадранте плоскости есть точки, принадлежащие области устойчивости. Выбором достаточного трения в чувствительном элементе можно скомпенсировать вредное действие масс чувствительного элемента. Надо лишь, чтобы Тк было больше некоторого порога, увеличивающегося монотонно с ростом