5. СЛУЧАЙ, КОГДА ВСЕ ПОЛЮСА ФУНКЦИИ X(s) РАСПОЛОЖЕНЫ В ЛЕВОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ПОЛЮСА В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ
Найдем, какой вид приобретают общие формулы (XV.31) и (XV.32) в том случае, когда функция 
может иметь простой полюс в начале координат, а все остальные ее полюса расположены в левой полуплоскости. Этот же вид формул остается справедливым и в только что рассмотренном менее общем случае, когда такого полюса не имеется.
Итак, предположим, что функция 
может быть представлена в виде
где функция 
не имеет особенностей во всей правой полуплоскости и на мнимой оси, включая начало координат.
Функцию 
назовем приведенной передаточной функцией. Из выражения (XV.47) очевидно, что 
можно рассматривать как передаточную функцию такой в общем случае фиктивной системы, в которой единичное ступенчатое воздействие вызывает искомый переходный процесс.
В этом случае
и функция 
при достаточно больших значениях 
стремится к нулю или к постоянной величине 
отличной от нуля, в зависимости от того, имеет или нет функция 
нуль в начале координат.
В случае наличия полюса при 
функция 
имеет нерегулярную часть 
которая определяется формулой
если при 
полюса нет, то 
Подставляя выражение (XV.49) в формулу (XV.28), для регулярной части 
получим
Пусть
огда, полагая в выражении (XV.50) 
найдем
Итак, в рассматриваемом случае обобщенные вещественная и мнимая частотные характеристики 
определяются соотношениями
Подставляя найденные выражения для 
в формулы (XV.22) и (XV.23) и учитывая, что 
и
получим следующие формулы для вычисления переходного процесса: 
или
Отметим, что если функция 
не имеет полюса при 
то формулы (XV.55) и (XV.56) сводятся к формулам (XV.34) и (XV.35).
Действительно, в этом случае
и
т. е. если 
не имеет полюса при 
то
Подставляя соотношения (XV.59) в формулы (XV.55) и (XV.56) и учитывая, что 
получим выражения (XV.34) и (XV.35). Итак, формулы (XV.55) и (XV.56) можно рассматривать как более общую форму выражений (XV.34) и (X V.35), справедливую не только в тех случаях, когда функция 
имеет полюс при 
, но также, когда такого полюса нет и 
