18. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ

Перейдем к определению передаточной функций нестационарной системы. Согласно формуле (VI 1.6) можно записать

Полученное выражение представляет собой функцию двух переменных: комплексной и вещественной

Формула обращения для выражения (VII. 162) имеет вид

Выразим величину на выходе нестационарной системы через ее передаточную функцию Пусть

Тогда, подставляя выражение (VII.164) в формулу (VII.161), получим

Далее, учитывая выражение (VII. 162), получим

Последнее выражение является обобщением формулы (VI 1.27) на случай, когда передаточная функция зависит от параметра Оно также показывает, что, зная передаточную функцию нестационарной системы, можно найти переходный процесс, вызываемый в ней любым воздействием

Для частного случая, когда

и

формула (VII. 166), очевидно, сводится к выражению (VII.163).

Таким образом, задача анализа линейных систем с переменными параметрами решается достаточно просто, если известны импульсная переходная или передаточная функция системы. Однако чаще всего эти характеристики не известны, а задано только дифференциальное уравнение системы. Поэтому практически очень часто возникает задача определения или по известному дифференциальному уравнению системы (VII. 155). Решение этой задачи, достаточно простой в случае линейных систем с постоянными параметрами, для линейных переменных систем связано с определенными трудностями. Они являются следствием того, что в настоящее время отсутствуют регулярные методы нахождения решений линейных дифференциальных уравнений типа (VII. 156), за исключением случаев, когда . А именно, к решению таких уравнений и сводится задача определения

Действительно, выше было отмечено, что для определения импульсной переходной функции системы, описываемой

уравнением (VII.156), необходимо решить дифференциальное уравнение (VII.157), совпадающее с уравнением (VII.157) при

Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет передаточная функция системы, определяемая дифференциальным уравнением (VII.157). Применяя к обеим частям уравнения (VII.157) преобразование Лапласа по переменной будем иметь

Так как

то, полагая на основании последней формулы и уравнения (VII. 167), получим дифференциальное уравнение для

Введя обозначения

получим

Сравнивая полученное выражение с уравнением (VII. 156), мы видим, что оно имеет такой же порядок. Следовательно, его решение так же трудно найти, как и решение уравнения (VII. 156). Однако использование функций все же упрощает задачу, так как для исследования реакции системы на любое входное воздействие необходимо только один раз решить уравнение (V.157) или (VII.169), а при использовании уравнения (VII.156) его частное решение требуется определять для каждого вида воздействия.

Частотные характеристики линейной нестационарной системы

так же как и передаточная функция в отличие от стационарных систем являются функциями де одной переменной , а двух