2. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ И ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА

Рассмотрим динамическую систему, описываемую системой нелинейных дифференциальных уравнений с переменными параметрами в полных производных:

В качестве воздействия выберем дельта-функцию, приложенную к системе в момент времени т. е. предположим, что

Импульсной переходной функцией рассматриваемой системы назовем решение описывающих ее уравнений (VII. 1) при нулевых начальных условиях и при воздействии вида (VI 1.2).

Импульсная переходная функция в общем случае является функцией от текущего момента времени момента приложения воздействия и параметра а, так что

Очевидно, что любое непрерывное воздействие можно представить в виде

или (см. рис. VII.2) в виде

т. е. рассматривать как бесконечную последовательность дельта-функций с амплитудой определяемой ординатой функции соответствующей моменту приложения дельта-функции.

Каждая из дельта-функций вызывает в системе переходный процесс, определяемый текущей импульсной переходной функцией. Задача анализа системы при произвольном воздействии на основе, понятия импульсной переходной функции состоит в том, чтобы выразить решение системы уравнений (VII.1) через . В общем случае, когда несправедлив принцип суперпозиции, эта задача неразрешима, но в ряде частных случаев решение может быть получено и тогда понятие импульсной переходной функции приобретает смысл важной, а иногда и универсальной динамической характеристики системы. В частности, это имеет место для линейных стационарных и нестационарных систем, для которых справедлив принцип суперпозиции.

Рис. VII.2. Непрерывное воздействие

Другой весьма важной характеристикой динамических систем является понятие передаточной функции.

Передаточную функцию можно определить как некоторое соответствующим образом выбранное интегральное преобразование от импульсной переходной функции:

где — известная функция, называемая ядром интегрального преобразования (VII.5), причем предполагается, что интеграл (VII.5) существует. Частным случаем преобразования (VII.5), которым обычно пользуются в теории регулирования, является преобразование Лапласа:

имеющее ядро

где — комплексная переменная.

Понятие передаточной функции тесно связано с понятием частотных характеристик.

Амплитудно-фазовой частотной характеристикой или просто частотной характеристикой динамической системы назовем ее

передаточную функцию , рассматриваемую при чисто мнимых значениях аргумента т. е. при

Предположим, что в выражении для частотной характеристики можно отделить вещественную часть от мнимой:

Вещественные функции и называются соответственно вещественной и мнимой частотными характеристиками системы. Предположим, что выражение для частотной характеристики может быть представлено в виде

Вещественные функции и называются соответственно амплитудной и фазовой частотными характеристиками системы.

Аналогичным образом можно определить понятия импульсной переходной функции, передаточной функции и частотных характеристик для дискретных динамических элементов.