10. ОБОБЩЕНИЕ ЧАСТОТНОГО КРИТЕРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НА МНОГОКОНТУРНЫЕ СИСТЕМЫ

Причины, по которым системы регулирования имеют не один, а несколько контуров обратной связи, могут быть самыми различными. Так, например, кроме обратной связи через чувствительный элемент, в системах регулирования часто имеются внутренние

обратные связи, вводимые в усилительные элементы для понижения уровня шумов, уменьшения выходного сопротивления, обеспечения линейности и т. д. Введение внутренних обратных связей является одним из важнейших и наиболее распространенных способов коррекции динамических свойств систем автоматического регулирования.

Системы с несколькими регулируемыми величинами также относятся к классу многоконтурных систем регулирования. Наконец, с многоконтурными системами приходится иметь дело при анализе сложных систем автоматического управления, состоящих из нескольких взаимодействующих друг с другом следящих систем и систем стабилизации.

Анализ устойчивости многоконтурных систем обычно более сложен, чем одноконтурных. Одной из основных причин этого является то, что передаточные функции мйогоконтурных систем с разомкнутой главной обратной связью через чувствительный элемент уже не являются произведением простых сомножителей. Поэтому число полюсов этих функций, находящихся в правой полуплоскости, нельзя рассматривать как заданную Величину, а следовательно, нельзя непосредственно применять и изложенные выше частотные критерии устойчивости.

Часто анализ устойчивости многоконтурных систем можно существенно упростить, преобразовав структурную схему системы, например, при помощи одного из приемов, рассмотренных в главе IX. Однако более общий метод основан на том, что вначале система анализируется в полностью разомкнутом состоянии, а затем при последовательном включении каждой из обратных связей, имеющихся в системе. Такого рода подход к анализу устойчивости многоконтурных систем может быть обоснован следующим образом.

Рассмотрим общий случай -контурной системы автоматического регулирования, имеющей произвольную структуру. При этом обозначим левую часть характеристического уравнения системы через когда все обратные связи разомкнуты, и предположим для определенности, что все нули функции расположены в левой полуплоскости. Перенумеруем теперь токи, в которых производится сравнение сигнала от обратной связи с входным сигналом, в произвольном, ко фиксированном порядке и обозначим левую часть характеристического уравнения системы при включенной первой точке сравнения через включенной первой и второй точках сравнения через , наконец, через — левую часть характеристического уравнения всей системы в целом, в которой замкнуты все цепей обратной связи.

Составим теперь отношение . Очевидно, мы можем написать

или

где через обозначен полином, который добавляется к характеристическому уравнению полностью разомкнутой системы при включении первой обратной связи, через — полином, который добавляется к характеристическому уравнению системы с замкнутой первой обратной связью при включении второй обратной связи и т. д.

Поэтому получим

где

Согласно предположению функция не имеет полюсов в правой полуплоскости. Поэтому число нулей функции в правой полуплоскости равно числу оборотов вектора вокруг начала координат при изменении от до Но полное число оборотов вектора очевидно, равно сумме чисел оборотов векторов: а число оборотов каждого из этих векторов равно разности между числом нулей и полюсов соответствующей функции в правой полуплоскости, т. е.

причем условие устойчивости заключается в том, чтобы Заметим, что в формуле (XII. 63) согласно предположению число же нулей можно определить, сосчитав число оборотов вектора относительно точки Определим теперь разность При этом заметим, что так как знаменатель функции представляет собой числитель функции

число же нулей можно определить, сосчитав число оборотов вектора относительно точки Точно так же, сосчитав число оборотов вектора относительно точки можно определить Далее, имея в виду, что найдем

Определив указанным способом каждое из чисел входящих в уравнение (XII.63), и найдя их сумму 2, мы установим, является ли система устойчивой или нет, в зависимости от того, равна эта сумма 2 нулю или отличается от нуля. При помощи аналогичных рассуждений легко показать, что если характеристическое уравнение полностью разомкнутой системы имеет Р корней в правой полуплоскости, то полностью замкнутая система будет устойчива лишь в том случае, если сумма полного числа оборотов 2 всех амплитудно-фазовых характеристик будет равна Р.

Таким образом, можно сформулировать следующий критерий устойчивости многоконтурных систем. Для того чтобы многоконтурная система автоматического регулирования, характеристическое уравнение которой в полностью разомкнутом состоянии содержит Р корней в правой полуплоскости, была устойчива, необходимо и достаточно иметь полное число оборотов в отрицательном направлении вокруг критической точки всех амплитудно-фазовых характеристик, получаемых при последующем включении каждой из цепей обратной связи в произвольном порядке, за исключением какой-либо одной из них, при изменении от до равным Р. Если разомкнутая система устойчива и то указанное число оборотов также должно равняться нулю.

При этом важно заметить, что обратные связи могут включаться последовательно одна за другой в самом различном порядке. Если система содержит точек сравнения, то последующее включение обратных связей можно произвести различными способами.

Необходимо также подчеркнуть, что вполне возможны случаи, когда и в то же время

при некотором Это означает, что система может быть устойчивой в своем окончательном рабочем состоянии и неустойчивой, когда некоторые из ее внутренних обратных связей разомкнуты.