5. ОБОБЩЕНИЕ ЧАСТОТНОГО КРИТЕРИЯ НА АСТАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Выше, при выводе критерия Найквиста, предполагалось, что разомкнутая система устойчива. Однако на практике в том случае, когда система является астатической и содержит интегрирующие звенья, разомкнутая система является нейтрально устойчивой.

Это означает, что характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет нулевой корень той или иной степени кратности, а передаточная функция имеет вид

В данном случае при применении принципа аргумента пользоваться контуром С (рис. XII. 3) нельзя, так как он проходит через начало координат, в котором функция имеет полюс. Для обобщения частотного критерия на данный случай изменим контур С таким образом, чтобы он не проходил через точку Это можно сделать, обойдя справа начало координат вдоль полуокружности бесконечно малого радиуса. Итак, рассмотрим контур (рис. XII. 13), состоящий из полуокружности бесконечно большого радиуса полуокружности бесконечно малого радиуса и мнимой оси (за исключением начала координат). Далее предположим вначале, что передаточная функция разомкнутой системы имеет полюс первого порядка в точке т. е.

где

Такого рода системы (см. гл. VIII, § 2) называют астатическими системами первого порядка.

Введем, так же как это мы делали выше, вспомогательную функцию которую на основании выражения (XII. 38) можно представить в виде

Функция не имеет внутри контура С (рис. XII. 13) полюсов и поэтому условием отсутствия нулей функции внутри этого контура является равенство нулю числа оборотов вектора вокруг начала координат при обходе точкой вокруг контура С. Определим это число оборотов.

На полуокружности имеем

Подставив последнее выражение в формулу (XII. 39), получим

и, следовательно,

Из выражения (XII. 42) следует, что при изменении вдоль полуокружности по часовой стрелке конец вектора описывает полуокружность бесконечного большого радиуса, поворачиваясь

на угол против часовой стрелки. При изменении вдоль отрицательного направления мнимой оси, т. е. при изменении от до вектор опишет некоторую кривую (рис. XII. 14, а). На полуокружности согласно выражению (XII. 39)

Следовательно, при изменении вдоль полуокружности бесконечно большого радиуса вектор остается в точке а его угол поворота равен нулю.

Рис. XII.13. Контур С на плоскости для астатических систем

Рис. XII. 14. Годографы векторов для астатической системы первого порядка

Далее, когда точка начнет двигаться из бесконечности вдоль положительного направления мнимой оси к точке вектор опишет некоторую кривую, уходящую в бесконечность вдоль отрицательного направления мнимой оси на плоскости (кривая, показанная сплошной линией, на рис. XII. 14, а). Таким образом, при обходе вокруг контура С в плоскости вектор опишет некоторую замкнутую кривую, которая изображена на рис. XII. 14,а. При этом условие отсутствия нулей у функции расположенных внутри контура С (рис. XII. 13), очевидно, будет заключаться в том, чтобы начало координат находилось вне этой замкнутой кривой.

Направление обхода контуров на рис. XII. 14 обратно направлению обхода на рис. XII. 13, так как оно соответствует возрастанию .

Переходя от плоскости к плоскости (рис. XII. 14, б), заметим, что это условие эквивалентно требованию, чтобы точка находилась вне кривой, описываемой вектором при изменении от до Поэтому частотный критерий устойчивости остается справедливым и в данном случае. Следует лишь иметь в виду, что амплитудно-фазовая характеристика астатической системы первого порядка уходит в бесконечность вдоль мнимой

оси и замыкается полуокружностью бесконечно большого радиуса, расположенной в правой полуплоскости (см. также рис. XII. 15, б).

Таким же образом частотный критерий устойчивости может быть обобщен и на астатическую систему любого порядка.

Рис. XI 1.15. Амплитудно-фазовые характеристики: а — статической системы; астатических систем с астатизмом; б — первого порядка; в — второго порядка; г — третьего порядка

Так, например, в случае астатической системы второго порядка

причем и вспомогательная функция принимает вид

Все рассуждения, относящиеся к астатической системе первого порядка, останутся в силе, за исключением того обстоятельства, что в этом случае амплитудно-фазовая характеристика будет уходить в бесконечность вдоль отрицательного направления вещественной оси на плоскости (рис. XII. 15, в). Это вытекает из того, что

на полуокружности в случае функции вида (XII. 45) мы будем иметь

и, следовательно, при изменении вдоль полуокружности вектор опишет окружность бесконечно большого радиуса, т. е. при изменении фазы вектора на фаза вектора , а также и вектора изменится (рис. XII, 15, в). Точно так же в случае астатической системы третьего порядка амплитудно-фазовая характеристика уходит при в бесконечность вдоль положительного направления мнимой оси плоскости (рис. XII. 15, г) и т. д. Для сравнения на рис. XII. 15, а приведена амплитудно-фазовая характеристика статической системы.