2. Д-РАЗБИЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОДНОГО КОМПЛЕКСНОГО ПАРАМЕТРА

Пусть нас интересует влияние какого-либо параметра , от которого зависят коэффициенты уравнения (XIII. 1). Положим, что можно разрешить это уравнение относительно до, т. е. привести его к виду

или

Например, для выражения

имеем

при

найдем

Представляют интерес только действительные значения . Временно предположим, что до — комплексное число, и отобразим мнимую ось плоскости корней на плоскость .

После выделения области устойчивости в комплексной плоскости можно будет рассматривать лишь действительные значения т. е. точки действительной оси, лежащие в области устойчивости.

Для того чтобы осуществить Д-разбиение комплексной плоскости в выражение

подставим

тогда получим

Затем отделим мнимую и действительную части, т. е.

Задавая со значения от до построим в плоскости (назовем ее плоскостью по точкам кривую, отображающую мнимую ось плоскости корней на плоскость Эта кривая определяет границу Д-разбиения плоскости Эта граница Д-разбиения в данном случае симметрична относительно действительной оси, и для построения всей кривой достаточно построить половину ее, соответствующую а затем дополнить кривую зеркальным отображением относительно действительной оси.

Если двигаться в плоскости корней вдоль мнимой оси из то область, где должны располагаться корни для устойчивости процесса, будет все время находиться слева.

Идя по граничной кривой Д-разбиения в направлении от к будем штриховать эту кривую слева (рис. XII 1.1, а). Если в плоскости пересекаем -кривую, переходя с заштрихованной стороны на незаштрихованную, то в плоскости корней один корень пересекает мнимую ось, переходя с левой полуплоскости на правую.

Выберем в плоскости произвольную точку, например, точку а (рис. XIII. 1,6) и предположим, что при рассматриваемое уравнение имеет корней, расположенных слева от мнимой оси, и корней, расположенных справа от нее (число пока неизвестно). Это значит, что точка а принадлежит области Тогда всю область составляет совокупность точек плоскости в которые можно попасть из точки а, не пересекая границы Д-разбиения. Для того чтобы из точки а перейти в точку необходимо пересечь границу Д-разбиения один раз с незаштрихованной стороны на заштрихованную мнимую ось справа налево. Следовательно, точка находится в области Этой же области принадлежит любая другая точка плоскости , в которую можно перейти из точки не пересекая границы Д-разбиения. Рассуждая аналогично, установим, что точка в расположена в области Если подобная «разметка областей» выполнена, сразу же

определяется «претендент» на область устойчивости. Такая область имеет наибольшую отметку [так как областью устойчивости служит область а отметка не может быть больше ].

В том случае, когда заранее известно, что существует значение , при котором система устойчива, работа по определению области устойчивости на этом заканчивается. Если же нельзя заранее утверждать, что такое значение существует, надо проверить, является ли область с самой большой отметкой областью устойчивости. Для этого достаточно проверить, удовлетворяет ли какому-либо критерию устойчивости рассматриваемое уравнение при каком-нибудь одном значении , принадлежащем этой области.

Предположим, например, что на рис. XIII. 1,6 построен годограф для характеристического уравнения пятой степени и при уравнение имеет три корня с отрицательной действительной частью.

Рис. XIII. 1. Отображение мнимой оси плоскости корней на плоскость

В этом случае точка в принадлежит области т. е. Следовательно, и область является областью устойчивости системы. Принадлежащий этой области отрезок действительной оси указывает значения до, при которых система устойчива. Если в этом случае (рис. XIII. 1, 6) годограф относился к уравнению не пятой, а шестой степени, то область уже не была бы областью устойчивости. Плоскость в данном случае вообще не содержала бы области устойчивости.

Часто можно вычислить число корней с положительной действительной частью полинома, соответствующего какой-либо точке плоскости , если пользоваться формулой

где — число корней полинома, имеющих положительную действительную часть при каком-либо значении ;

— число корней с положительной действительной частью уравнения ;

- число нулевых и чисто мнимых корней этого же уравнения

разность степеней полиномов

Ф — приращение аргумента вектора, начало которого лежит в точке а конец скользит по границе Д-разбиения от точки, соответствующей , до точки, соответствующей

Если граница Д-разбиения состоит из нескольких ветвей, то — сумма приращений аргументов указанного вектора, подсчитанных порознь для каждой из ветвей границы Д-разбиения. Эта формула может быть выведена тем же способом, который использовался в предыдущей главе для доказательства критерия Михайлова.

Построив Д-разбиение плоскости и определив число корней, соответствующее каждой области, остается выяснить, к каким из этих областей принадлежат те или иные точки действительной оси.

Приведем несколько примеров построения Д-разбиения.

Пример 1. Дано характеристическое уравнение

Решая его относительно параметра получим

и, произведя замену найдем

где

Построим границу Д-разбиения в плоскости (рис. XII 1.2), заметив, что при получим ; при найдем ; при имеем

Заштрихуем кривую слева, идя от к Очевидно, что областью, соответствующей полиномам, имеющим наибольшее число корней слева от мнимой оси, будет область, заштрихованная на рис. XIII.2. Для того чтобы убедиться, что эта область будет областью устойчивости, возьмем граничную точку При рассматриваемое уравнение сводится к

Его корни

т. е. один корень — нулевой, а два лежат слева от мнимой оси.

Рис. XIII.2. Построение области устойчивости для примера 1

Внутри рассматриваемой области число корней, расположенных слева от мнимой оси, должно быть на один больше, так как при этом сходим с границы Д-разбиения в сторону штриховки. Следовательно, этой области и соответствуют полиномы, у которых все три корня лежат слева от мнимой оси.

Существенны только действительные значения принадлежащие области устойчивости. Они определяются сразу отрезком оси лежащим внутри области Следовательно, условию устойчивости рассматриваемой системы будут отвечать значения Убедиться в этом можно также, воспользовавшись формулой (XIII.3).

Действительно, в рассматриваемом случае , следовательно, Выберем точку на оси между например тогда

Воспользовавшись формулой (ХIII.3), получим

т. е. точка принадлежит области устойчивости.

Пример. 2. Рассмотрим следующее характеристическое уравнение:

Решая его относительно найдем

Подставим

Придавая значения от до построим кривые

Построение показано на рис. ХХIII.3, а. После этого нетрудно построить границу Д-разбиения в плоскости и найти область, соответствующую полиномам с наибольшим числом корней, расположенных слева от мнимой оси.

Рис. ХIII.3. Построение области устойчивости для примера 2

На рис. ХIII.3, б эта область обозначена буквой А. Ни в одной точке плоскости, не принадлежащей области А, не может быть такого же или большего числа корней слева от мнимой оси, так как, выходя из области А в эту точку, обязательно нужно пересечь границу Д-разбиения с заштрихованной стороны на незаштрихованную сторону. Далее определим число корней слева от мнимой оси при . В этом случае характеристическое уравнение сводится к виду

корни которого

Таким образом, в точке один корень расположен слева от мнимой оси, а два корня — на ней. Переходя от точки к любой точке области А, еходим с кривой в сторону штриховки, причем в точке кривая заштрихована дважды (через эту точку проходят две ветви границы Д-разбиения). Следовательно, область соответствует случаю, когда все три корня имеют отрицательную действительную часть, т. е. является областью устойчивости [областью ].

В этом можно также убедиться, воспользовавшись формулой (XII 1.2). Тогда Далее выберем точку в области А. Для каждой ветви кривой имеем Для всей кривой

Следовательно,

и область А является областью устойчивости.