2. СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСНОВНЫХ ТИПОВ СОЕДИНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ

В системах автоматического регулирования применяют три основных типа соединений звеньев: параллельное, последовательное и обратное.

Параллельное соединение. При параллельном соединении звенья имеют общий вход, а их выходные величины суммируются (рис. V.5, а). При этом подразумевается, что звенья обладают направленностью действия. Если заданы уравнения статики параллельно включенных звеньев

то выходная величина по определению будет равна

Отсюда вытекает очевидный способ построения статической характеристики соединения по статическим характеристикам звеньев: задавшись некоторым определяем ординаты статических характеристик всех звеньев и затем находим для этого ординату характеристики соединения, как сумму ординат характеристик звеньев. На рис. V.5, б показано построение характеристики для двух звеньев,

Так, при

Для параллельно включаемых линейных звеньев имеем: уравнения звеньев

уравнение соединения

где К — передаточный коэффициент соединения:

Передаточный коэффициент параллельного соединения направленных линейных звеньев равен сумме передаточных коэффициентов отдельных звеньев.

Рис. V.5. Параллельное соединение звеньев: а — структурная схема; б — построение статической характеристики

Последовательное соединение. При последовательном соединении звенья образуют цепочку, в которой выходная переменная или координата каждого из предыдущих звеньев является входной переменной или координатой для последующего звена (рис. V.6, а).

На рис. V.6, б показан метод графического определения статической характеристики последовательного соединения трех направленных звеньев.

В первом квадранте по оси абсцисс откладывается первого звена, по оси ординат — первого звена, которое по определению равно для второго звена. ,В этих осях построена статическая характеристика первого звена. Во втором квадранте по

вертикальной оси откладывается горизонтальной оси и в этих осях строится характеристика II второго звена.

В третьем квадранте по горизонтальной оси отложено по вертикальной оси — и построена статическая характеристика III третьего звена.

Так как одновременно является входом рассматриваемой системы, а — ее выходом, то в четвертом квадранте легко получить искомую статическую характеристику IV системы. Для этого задаемся некоторым значением (например, точкой 1 на рис. V.6, б). Затем строим прямоугольник, одна из сторон которого проходит через точку 1. Стороны прямоугольника параллельны координатным осям, а вершины (точки 2, 3 и 4) лежат на характеристиках звеньев.

Рис. V.6. Последовательное соединение звеньев: а — структурная схема; б — построение статической характеристики

Четвертая вершина (точка 5) определит точку на искомой статической характеристике. Аналогичным построением определяем и другие точки характеристики.

Если число последовательно включенных звеньев в системе больше трех, то разбиваем их на группы по три и ищем характеристики групп. Далее, рассматривая каждую группу как звено, строим характеристику системы. Когда же ищется характеристика двух звеньев, то описанное построение легко применить, если добавить к двум данным звеньям еще одно с передаточным коэффициентом, равным единице. Характеристика этого звена будет изображаться биссектрисой квадрантного угла.

При последовательном подключении линейных звеньев система уравнений (в отклонениях координат от начальных значений) будет иметь следующий вид:

Исключая из этих уравнений промежуточные координаты хшхъ

где

Таким образом, передаточный коэффициент К цепочки последовательно включенных линейных направленных звеньев равен произведению передаточных коэффициентов отдельных звеньев.

Система с обратной связью.

В этом случае звено подключают навстречу одному или нескольким звеньям. Часть величины с выхода звена подается на его вход (или на вход одного из предыдущих звеньев, рис. V.7, а). Звено, подключенное таким образом, называют звеном обратной связи а всю схему — схемой с обратной связью.

Графический метод определения статической характеристики схемы с обратной связью показан на рис. V.7, б, в.

Пусть статическая характеристика звена без обратной связи выражается уравнением

а статическая характеристика звена обратной связи имеет вид

Тогда статическая характеристика схемы с обратной связью будет

В зависимости от того, складывается переменная на выходе звена обратной связи с входной переменной или вычитается из нее, обратную связь называют соответственно положительной или отрицательной.

Определение статической характеристики соединения удобнее вести в обратном порядке, задаваясь и отыскивая Для этой цели введем в рассмотрение обратную статическую характеристику

Как видно из схемы рис. V.7, а,

или

Верхний знак в этих формулах берется для положительной, а нижний — для отрицательной обратной связи.

Далее запишем

Из выражения (V.13) вытекает следующий графический способ построения статической характеристики соединения.

В случае положительной обратной связи по оси абсцисс будем откладывать (в одинаковом масштабе); по оси ординат .

Рис. V.7. Система с обратной связью: а — структурная схема; б — построение статической характеристики при положительной обратной связи; в — то же при отрицательной обратной связи

Построим в этих осях характеристики (рис. V.7, б) звена без обратной связи (кривая I) и звена обратной связи, применяя уравнение (V. 11) (кривая II), используя для этого функциональную зависимость (V.10). Зададимся некоторым (точка 1) и определим (хвых) и (соответственно точки 2 и 3).

В случае положительной обратной связи т. е. расстоянию между точками 2 и 3. Перенесем отрезок влево по горизонтали так, чтобы его конец а совпал на оси ординат с точкой У, тогда конец отрезка (точка 4) и будет точкой искомой характеристики. Повторив построение для ряда хвьш определяем ряд точек искомой характеристики (кривая III).

В случае отрицательной обратной связи ей удобно откладывать по горизонтальной оси вправо, а — влево и строить характеристику звена обратной связи во втором квадранте (рис. V.7, в). При этом т. е. расстоянию Передвинув отрезок вправо по горизонтали так, чтобы его конец а совпал с точкой найдем точку 4 искомой характеристики.

При отрицательной обратной связи результирующая характеристика III (рис. V.7, в) идет обычно более полого, чем

характерисгика I звена без обратной связи, а при положительной обратной связи — наоборот.

В случае линейного звена с передаточным коэффициентом и линейного звена обратной связи с коэффициентом из выражения (V.13) находим

откуда

где

при отрицательной обратной связи, при которой используют в знаменателе знак плюс, результирующий коэффициент К будет всегда меньше при положительной обратной связи и при он будет всегда больше при обращается в бесконечность. Практически при этом линейное звено становится астатическим, а нелинейное обычно переходит в релейный режим.

Рис. V.8. Преобразование структурной схемы: а — исходная схема; б — преобразованная схема

Перекрестные обратные связи.

При перекрестных обратных связях непосредственное применение графического метода, аналогичного описанному выше, хотя и возможно, но использование его становится весьма сложным [1]. Поэтому более удобно сначала привести схему к некоторой эквивалентной ей схеме без перекрестных обратных связей [2]. Проиллюстрируем это на частном примере. Схемы, показанные на рис. V.8, а, б, эквивалентны, так как в узловых точках А, В и на входе звена I значения переменных одни и те же.

Пусть теперь дана схема (рис. V.9, а) с двумя перекрестными обратными связями 1; 2. Применяя метод приведения, сначала преобразуем схему к виду, показанному на рис. V.9, б, где точка входа обратной связи перенесена с выхода звена III на его вход.

Далее определяем характеристику эквивалентного звена VI, как последовательного соединения звеньев III и V (рис. V.9, в). Дальнейшие преобразования показаны на рис. V..

Охват отрицательной обратной связью астатического интегрирующего звена. Пусть отрицательной обратной связью с характеристикой охвачено интегрирующее звено, описываемое уравнением

В установившемся режиме откуда

где — характеристика, обратная

Рис. V.9. Преобразование схемы с перекрестными обратными связями: а — исходная схема; б - е — этапы преобразования

Итак, статическая характеристика интегрирующего звена, охваченного обратной связью, равна обратной статической характеристике обратной связи.