ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Настоящая глава посвящена изложению основных понятий и определений теории автоматического регулирования. Проблему автоматического регулирования можно рассматривать как частный случай проблемы автоматического управления. Системы автоматического регулирования представляют собою определенный класс динамических систем, а именно: класс замкнутых активных динамических систем направленного действия. Классификация систем автоматического регулирования может быть дана в зависимости: от характера управляющих воздействий, от содержащихся в них элементов для преобразования сигналов, от идеализации, принятой при математическом описании, от характера контролируемыхизменений их свойств. Классификация устройств, из которых состоят системы автоматического регулирования, обычно дается по функциональному признаку. Очень важным понятием теории регулирования является понятие структурной схемы и структурных элементов. Требования, предъявляемые к динамическим свойствам систем автоматического регулирования, разнообразны и зависят от конкретных условий их работы.

1. СУЩНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Проблема регулирования может рассматриваться как частный случай проблемы управления. Поэтому остановимся прежде всего на формулировке последней.

Всякий процесс управления подразумевает наличие одного или нескольких объектов управления и управляющей ими системы. Совокупность нескольких управляемых объектов, объединенных единством цели управления, назовем управляемой системой (рис. II. 1). В качестве управляемой системы можно рассматривать, например, цех завода, состоящий из ряда взаимодействующих друг с другом и управляемых в соответствии с единой целью агрегатов и машин. Совокупность средств, стремящихся обеспечить выполнение управляемой системой определенной цели, назовем

управляющей системой. Управляемая и управляющая системы, находящиеся во взаимодействии друг с другом, образуют систему управления.

Поведение всякой системы управления определяется: целью управления, окружающей обстановкой или внешними условиями и внутренними условиями, т. е. свойствами управляемой и управляющей систем.

Система управления называется автоматической, если основные функции управления, необходимые в процессе работы системы для достижения цели управления, осуществляются в ней без непосредственного участия человека.

Рис. II. 1. Система управления

Управляемые системы и объекты характеризуются следующими группами переменных:

переменными состояния представляющими собою их обобщенные координаты;

управляющими переменными представляющими собою воздействия на управляемый объект, создаваемые управляющей системой;

внешними переменными или возмущающими воздействиями создаваемыми окружающей средой (внешние условия);

наблюдаемыми переменными представляющими собою те из обобщенных координат управляемой системы, сведения об изменении которых поступают на управляющую систему.

Наблюдаемыми переменными, в частности, могут быть переменные состояния

Условимся рассматривать эти переменные как компоненты многомерных векторных функций:

и называть вектора соответственно, векторами состояния, управления, возмущения и наблюдения.

В дальнейшем для упрощения предположим, что вектор состояния совпадает с вектором наблюдения.

В любой момент времени состояние управляемой системы является функцией начального состояния и векторов

Уравнение (II. 1) эквивалентно системе из зависимостей:

где

Уравнения (II. 1) и (11.1а) можно рассматривать как уравнения математической модели управляемой системы. Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями, приведенные выше уравнения можно привести к следующему виду:

или

где влияние вектора возмущений учтено явной зависимостью оператора X от времени

Часто на изменения вектора состояния (или на его производные) и вектора управления накладываются ограничения

которые означают, что изменения векторов должны быть ограничены замкнутыми областями соответственно векторного пространства состояний и векторного пространства управлений.

Предположим, что цель управления определяется экстремумом некоторого функционала , называемого в дальнейшем показателем цели управления:

Решение проблемы управления состоит в том, чтобы найти вектор управления обеспечивающий выполнение условия

и одновременно удовлетворяющий ограничениям и связям, налагаемым внутренними свойствами системы.

Решение этой экстремальной проблемы ввиду ее трудности можно представить себе основанным на методе последовательных приближений, причем первое и второе приближения определяются в результате:

а) этапа идеальной, или первичной оптимизации, состоящего в нахождении идеального, но обычно нереализуемого вектора управления

б) этапа вторичной оптимизации, или оптимизации качества управления, состоящего в нахождений оптимального и в то же время реализуемого вектора управления

Этап первичной оптимизации заключается в том, что экстремальная задача (II.5) решается в идеализированной постановке, учитывающей лишь важнейшие свойства системы управления.

Так, например, можно представить себе, что на этом этапе учитываются лишь ограничения вида (II.3) или, что помимо этих ограничений, решение экстремальной задачи должно удовлетворять еще определенным зависимостям, например, вида

называемым уравнениями идеальной модели системы управления.

Вектор управления удовлетворяющий принятой идеализированной постановке проблемы, назовем идеальным вектором управления а его зависимость от вектора состояния и вектора возмущения

идеальным алгоритмов управления.

Подставляя выражение (II.7) в уравнение (II.6) и решая последнее относительно можно найти идеальный вектор состояния

Идеальный алгоритм управления, как это было указано, можно рассматривать как первое приближение к решению проблемы управления, причем обычно он практически нереализуем.

Этап вторичной оптимизации заключается в том, чтобы получить решение, наименее отличающееся от идеального и в то же время учитывающее возможно более полно ограничения и связи, налагаемые свойствами системы управления, т. е. в том, чтобы получить не только оптимальное, но и реализуемое решение.

Для количественной характеристики отношения оптимального реализуемого решения от идеального введем величину, которая может быть названа показателем качества управления и представляет собою функционал вида

где — экстремум показателя цели управления (II.4), соответствующий идеальной системе управления;

Е — значение показателя цели управления, обеспечиваемое реальной системой.

Стремление обеспечить минимум величины обычно вступает в противоречие с имеющимися условиями реализуемости управляющей системы, которые могут характеризоваться ее сложностью, стоимостью, надежностью и т. д. Действительно, чем выше качество управления, т. е. чем выше точность аппроксимации идеального алгоритма управления, тем обычно сложнее, дороже и ненадежнее управляющая система, тем большего количества оборудования она требует для своей реализации. Поэтому основная задача синтеза управляющих систем состоит в том, чтобы достигнуть наивыгоднейших условий компромисса между противоречивыми требованиями качества и реализуемости управления.

Сказанное выше можно сформулировать также следующим образом.

Введем в рассмотрение величину Р, представляющую собою основную характеристику условий реализуемости управляющей системы (например, меру ее стоимости, сложности, ненадежности и т. д. или обобщенную меру совокупности всех этих качеств). Показателем, характеризующим эффективность управления, можно тогда назвать функционал

в частном случае имеющий вид

где — некоторый весовой коэффициент»

Итак, задачей вторичной оптимизации назовем задачу определения вектора управления обеспечивающего минимум величины С:

и одновременно удовлетворяющего уравнениям математической модели управляемой системы (II. 1) или (II.2), а также ограничениям (II.3). Оптимальный реализуемый алгоритм управления представим в виде

Частные случаи этой формулировки задачи вторичной оптимизации сводятся к тому, чтобы найти вектор управления обеспечивающий минимум величины при заданной величине Р, т. е.

или, наоборот, минимум величины при заданной величине т. е.

Подводя итоги, можно дать следующую формулировку проблемы управления: проблема управления состоит в определении и реализации вектора управления обеспечивающего экстремум показателя эффективности управления (II.9) при достижении цели управления (11.5) и удовлетворяющего имеющимся связям [например, вида (II.2)] и ограничениям [например, вида (II.3)].

На рис. II.2 приведена схема, поясняющая приведенную выше формулировку проблемы управления и способ реализации вектора управления Управляемый объект 1 находится под влиянием вектора возмущений и зектора управления Интересующее нас состояние объекта описывается вектором состояния Идеальная модель 2 реализует уравнения (II.6) с учетом ограничений (II.3). Вычислитель идеального режима 3 решает вариационную проблему (II.5) в принятой идеальной постановке, определяя и идеальный показатель цели управления Вычислитель 4 по известным определяет приближенное значение действительного показателя цели управления Сигналы, пропорциональные сравниваются в устройстве 5, и сигнал ошибки по показателю цели управления, совместно с необходимой добавочной информацией поступает на оптимизатор качества, или эффективности управления который решает вариационную задачу (11.10), определяя оптимальный вектор управления Для реализации вектора обычно необходимы усилители мощности с обратной связью 7.

Реализация системы управления, по этому принципу (рис. II.2), представляет собою большие трудности. Одной из наиболее

существенной является необходимость формирования ошибки по показателю цели управления, требующая вычисления текущего значения показателя цели управления в условиях, приближающихся к реальным. Кроме того, в ней отсутствует непосредственное сравнение идеального режима с действительным текущим режимом т. е. она является разомкнутой по вектору состояния.

Поэтому задача управления в изложенной выше общей постановке часто заменяется более простой задачей, когда показатель качества управления не зависит в явной форме от показателя цели управления.

Рис. 11.2. Принцип построения системы автоматического управления, требующий формирования ошибки по показателю цели управления

В этом случае необходимость формирования сигнала отпадает, и задача значительно упрощается. Таким показателем может служить показатель точности управления, определяемый следующим образом.

Рассмотрим вектор ошибки:

где — соответственно идеальный и реальный векторы состояния.

Идеальный вектор состояния определяет идеальный режим системы управления.

Показателем точности назовем функционал от ошибки

Очевидно, что решение задачи минимизации функционала (11.14) значительно проще минимизации функционала (II.8).

В качестве показателя точности обычно выбирается функционал вида

где — некоторая непрерывная функция от гид.

Функционал является мерой отклонения на интервале действительного вектора состояния х от идеального вектора состояния совместимого с имеющимися ограничениями на изменения вектора

Заметим, что если представляет интерес мера полного отклонения на достаточно большом интервале времени, то вместо функционала (11.15) с конечными пределами рассматривается функционал вида

с бесконечными пределами.

Возможен также и другой предельный случай, когда интерес представляет мера ошибки лишь в определенный момент времени В этом случае

при

Решение задачи на минимум функционала (11.14) при имеющихся ограничениях и связях позволяет найти вектор состояния, который мы назовем оптимальным и обозначим через Оптимальный вектор состояния называется также вектором задания и обозначается через

На рис. II.3 изображена схема, поясняющая рассмотренный выше принцип управления, когда показателем эффективности управления является показатель точности (11.14). Здесь, так же как и на рис. II.2, имеется объект регулирования 1, идеальная модель 2, вычислитель идеального режима 3, усилитель мощности 7, но цепь для формирования сигнала ошибки по показателю цели управления уже оказывается не нужной, что существенно упрощает систему.

Оптимизатор качества управления 6 (рис. II.2) в рассматриваемом случае (рис. II.3) сводится к оптимизатору точности управления 5, входными сигналами для которого является сигнал ошибки

получаемый на выходе сравнивающего устройства 4, а также необходимая дополнительная информация

Рис. II.3. Принцип построения системы автоматического управления, требующий формирования сигнала ошибки по вектору задания

Оптимальный вектор состояния или вектор задания то же), сравнивается с действительным вектором состояния в сравнивающем устройстве 6, на выходе которого получается сигнал ошибки т. е.