19. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБКИ

Как это было показано выше, связь между ошибкой и воздействием может быть представлена в виде

где — импульсная переходная функция.

Предположим, что воздействие является функцией, имеющей первых производных в интервале тогда можно написать

Подставляя выражение (VIII.223) в уравнение (VIII.222), получим

Если функция имеет первых производных в интервале и то формулы (VI 11.225) принимают, вид

Итак, в этом случае где

Выражение (VI 11.224) представляет собою разложение ошибки в ряд по производным от воздействия. Каждый из членов этого ряда можно интерпретировать как составляющую ошибки вызываемую соответствующей производной от воздействия Коэффициент пропорциональности между составляющей ошибки обусловливаемой производной от воздействия множенный на , принято называть коэффициентом ошибки.

В случае медленно изменяющихся воздействий, когда в выражении (VIII.224) можно ограничиться небольшим числом членов, последнее оказывается удобным для вычисления так как при этом не требуется знания корней характеристического уравнения системы.

Заметим, что если импульсная переходная функция неотрицательна при всех то первые коэффициенты С ряда (VI 11.224) имеют простую геометрическую интерпретацию. Действительно, величина представляет собою площадь фигуры, ограничиваемой импульсной переходной функцией — координату центра тяжести этой фигуры или время отставания максимума от момента приложения импульсного воздействия.

Коэффициенты С; могут быть вычислены не только по заданной импульсной переходной функции, входящей в выражение (VIII.225) но и по заданной передаточной функции [или ].

Действительно,

Дифференцируя выражение (VIII.227) раз по и переходя к пределу при получим

Сравнение формул (VIII.228) и (VIII.226) даст

или, учитывая выражение (VIII.227),

где

Следует, однако, заметить, что формулы (VIII.229 а) неудобны для вычислений. Для того чтобы получить более удобные формулы, разложим выражение для передаточной функции в ряд Маклорена при малых

Таким образом, преобразование Лапласа для ошибки на выходе можно представить в следующем виде:

Применяя к выражению (VIII.231) обратное преобразование Лапласа, получим

Сравнивая выражение (VIII.232) с (VII 1.224) легко видеть, что

Итак, вычисление коэффициентов С сводится к определению коэффициентов разложения в ряд Маклорена передаточной функции при Пользуясь этим обстоятельством, легко получить общую формулу для определения коэффициентов Действительно, переходя в выражении (VIII.230) к пределу при получим

Разделив обе части равенства (VII 1.230) на и переходя к пределу при найдем

Точно так же, разделив обе части равенства (VIII.230) на и переходя к пределу при , получим

и, вообще,

Итак,

Формула (VIII.234) позволяет найти каждый последующий коэффициент по известным предыдущим коэффициентам

Если передаточная функция системы является дробнорациональной функцией вида:

то коэффициенты удобнее всего вычислять простым делением числителя передаточной функции на ее знаменатель.

Легко убедиться в том, что результат будет иметь вид ряда (VIII.230), где

Итак,

Формула (VI 11.235) представляет собою явную зависимость каждого последующего коэффициента от предыдущих и коэффициентов передаточной функции

Важным свойством астатических следящих систем является то, что для астатической системы с порядком астатизма равным первые коэффициентов ошибки равны нулю.

Действительно, в этом случае передаточная функция ошибки имеет нуль порядка в начале координат, т. е. может быть представлена в виде

и, следовательно, применяя формулы мы для всех коэффициентов с индексом до получим результат, равный нулю.

Таким образом, в случае системы с астатизмом первого порядка в случае системы с астатизмом второго порядка

Выше уже подчеркивалось, что применение излагаемого метода определения величины на выходе оказывается особенно удобным, когда в разложении (VIII.232) можно ограничиться небольшим числом членов, т. е. когда с достаточной степенью приближения можно написать

где — невелико.

Поэтому существенно уметь оценивать погрешность, которую мы допускаем, ограничиваясь в разложении (VIII. 236) первыми членами и пренебрегая остаточными членами и Покажем, каким образом можно оценить сверху остаточный член определяемый формулой (VIII.223а) если, и известно, что

Предположим, что выражение для импульсной переходной функции имеет вид

и, следовательно, передаточная функция определяется выражением

Учитывая неравенство (VIII.237), мы можем пользуясь выражением (VIII.226) написать

Но

Подставляя выражение (VIII.239) в уравнение (VIII.241), получим

Итак,

В табл. VI11.5 приведено несколько первых коэффициентов ошибки, вычисленных при помощи формулы (VIII.235)

(кликните для просмотра скана)

для статических и для астатических систем первого и второго порядка, имеющих передаточную функцию вида

В случае использования логарифмических частотных характеристик, коэффициенты ошибок могут быть выражены непосредственно через сопрягающие частоты.

Иногда интерес представляет влияние медленно изменяющегося возмущающего воздействия на регулируемую величину . В этом случае разложение (VIII.232) принимает вид

Коэффициенты называются системными коэффициентами. Они могут вычисляться при помощи формул, аналогичных формулам (VIII.234а)-(VIII.234г), где, однако, вместо передаточной функции ошибки должна применяться передаточная функция соответствующая точке приложения рассматриваемого воздействия

При решении вопросов анализа и синтеза каскадного или последовательного соединения следящих систем существенный интерес имеют зависимости между коэффициентами ошибки всей системы в целом и каждой из входящих в ее состав следящих систем.

Обозначим передаточные функции следящих систем через Тогда, если предположить, что все следящие системы обладают направленностью действия, то передаточная функция всей системы

Обозначим через коэффициент ошибки системы.

Имеем:

или

или

Требуемые соотношения можно теперь получить, приравнивая выражения при одинаковых степенях в правой и левой частях равенства (VIII.246).

(кликните для просмотра скана)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)