7. УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОЙ связи МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Из соотношений (VIII.49), (VIII.50) следует, что передаточная функция всегда может быть найдена, если задана какая-либо пара соответствующих ей частотных характеристик: амплитудная и фазовая или вещественная и мнимая (очевидно, что это утверждение справедливо и для других передаточных функций).

Однако на самом деле для определения передаточной функции во многих случаях достаточно задания только какой-нибудь одной, а не двух частотных характеристик. Это следует из того, что между вещественной и мнимой а также между амплитудной и фазовой частотными характеристиками при определенных условиях существует однозначная зависимость и, следовательно, если одна из них задана, то другая может быть всегда определена.

Можно показать, что эта зависимость определяется выражениями

в которых подразумевается главное значение интеграла при Эти выражения называются преобразованиями Гильберта.

Условия однозначной связи между вещественной и мнимой частотными характеристиками формулы (VIII.116) и (VIII.117) заключается в том, чтобы соответствующая им передаточная функция была аналитической и ограниченной (в частности, не имела полюсов) в нижней полуплоскости и на вещественной оси .

Рассмотрим теперь условия однозначной зависимости между амплитудной и фазовой характеристиками. Прологарифмируем выражение (VIII.50), т. е.

Сравнивая выражения (VIII.49) и (VIII. 118), отметим, что логарифмическая амплитудная и фазовая частотные характеристики связаны с логарифмом передаточной функции таким же соотношением, как вещественная и мнимая частотные характеристики с самой передаточной функцией Поэтому, заменяя в выражениях (VIII. 116), (VIII. 117) через через получим

и

Как мы видели, формулы справедливы лишь в том случае, если функция — аналитическая и ограниченная в нижней полуплоскости. Теперь роль функции играет ее логарифм Поэтому формулы (VIII.119) и (VIII.120), позволяющие определить через будут справедливы лишь в том случае, если функция также является аналитической и ограниченной в нижней полуплоскости. На основании сказанного, учитывая, что нуль функции является бесконечностью для ее логарифма, т. е. особенностью для функции отметим следующее: условие существования однозначной связи между логарифмической амплитудной характеристикой системы и ее фазовой характеристикой заключается в том, чтобы передаточная функция не имела не только полюсов, но и нулей во всей нижней полуплоскости, включая вещественную ось.

Системы, удовлетворяющие этому условию, называются минимально-фазовыми системами. Физически

системы минимально-фазового типа отличаются тем, что из всех возможных систем с одной и той же логарифмической амплитудной характеристикой они дают наименьший сдвиг фазы при любой частоте.

Поясним сформулированные выше условия однозначности.

Очевидно, что функции , где С — некоторая постоянная, будут иметь одинаковые мнимые части. Отсюда следует, что вещественная составляющая функции может быть определена по заданной мнимой составляющей лишь с точностью до аддитивной постоянной С, которая, однако, обычно может быть найдена из условий задачи.

Разложим функцию Ф (5) на простые дроби, т. е. представим ее в виде

где

причем представляют собой полюсы функции и предположим, что какие-либо два полюса, например и расположены на мнимой оси и, следовательно, имеют чисто мнимые сопряженные значения Тогда вместо выражения (VIII.121) можно написать

Рассмотрим теперь функцию и предположим, что она отличается от лишь тем, что не имеет полюсов на мнимой оси. Ее разложение на простые дроби имеет вид

Заметим, что в то время, как вещественные части обеих функций при одинаковы, их мнимые части отличаются друг от друга выражением

Таким образом, если две функции имеют при одинаковые вещественные части, но не все полюсы этих функций расположены в левой полуплоскости, то, вообще говоря, это еще не означает, что они также имеют и одинаковые мнимые части, т. е. взаимная связь между вещественной и мнимой частотными характеристиками при этих условиях не является однозначной.

Простейшей системой не минимально-фазового типа, которую можно назвать звеном с равномерным пропусканием первого порядка, может служить система, имеющая передаточную функцию

Очевидно, что модуль функции при равен единице при всех , т. е.

между тем как фаза

и, следовательно, системы, имеющие звенья с равномерным пропусканием, могут иметь одинаковые амплитудные и различные фазовые характеристики.

Простейшей системой с распределенными параметрами, для которой не удовлетворяются условия однозначной зависимости между амплитудной и фазовой характеристиками, может служить запаздывающее звено с передаточной функцией амплитудная характеристика которого представляет собой постоянную величину, никоим образом не зависящую от фазовой характеристики

Указанным условиям однозначности, очевидно, не удовлетворяют, например, передаточные функции астатических систем, имеющие полюс в начале координат. Однако можно показать что в этом случае нужно только учесть, что такого рода полюс дает увеличение фазы на где — его кратность.