7. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Умножая обе части уравнений (VI 1.48) на 
интегрируя по 
от 
и вводя обозначения
получим
Исключая V и 
из уравнений (VII.54), получим
Точно так же исключая 
уравнений (VII.54), найдем
В уравнениях (VII.55a) и (VII.55 б) коэффициенты 
представляют собой сложные функции вещественных параметров 
и комплексной переменной 
Общее решение уравнений (VI 1.55) состоит из суммы двух решений: общего решения однородных уравнений
и частного решения неоднородных уравнений (VI 1.55) (с учетом правой части).
Предположим, что элемент с распределенными параметрами не подвергается воздействию, распределенному вдоль его длины,
Другими словами, ограничимся рассмотрением лишь однородных уравнений (VI 1.56). Их общее решение имеет вид
где 
— суть корни характеристического уравнения:
а постоянные интегрирования А, В, С, D могут быть определены из краевых условий.
Поясним нахождение решения (VI 1.58) для частного случая, когда уравнения элемента с распределенными параметрами имеют
или в других обозначениях, принятых в теории электрических цепей:
так как нахождение решения уравнений (VI 1.48) в общем случае связано с довольно громоздкими выкладками.
Уравнения (VII.61) описывают, например, переходные процессы в длинной электрической линии, имеющей распределенные индуктивность, омическое сопротивление, емкость и проводимость, соответственно равные 
единицам на единицу длины.
Применяя к обоим частям уравнений (VII.61) преобразование Лапласа, получим
или
Введем обозначение
тогда вместо уравнений (VII.63) можем написать
Решение уравнений (VI 1.65) имеет вид
от.
Учитывая уравнения (VI 1.62), можно четыре неизвестных постоянных интегрирования А, В, С, D свести к двум:
или
где
Постоянные интегрирования А и В можно определить из краевых условий.
Пусть, например, к левому концу элемента приложено воздействие 
правый конец линии уходит в бесконечность. Тогда
очевидно, что 
, так как 
не может возрастать до бесконечности при бесконечном возрастании 
Следовательно,
Но согласно левому краевому условию
и, следовательно,
