4. ПРИМЕР СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ОБЪЕКТА РЕГУЛИРОВАНИЯ

В большинстве случаев уравнения элементов систем автоматического регулирования оказываются нелинейными. Однако в одних случаях нелинейности являются несущественными, не вносящими

ничего качественно нового в процесс регулирования, в других они носят определяющий характер, и пренебрежение ими в корне меняет картину переходного процесса. При составлении дифференциальных уравнений необходимо проанализировать возможность и долустимость их упрощения и, в частности, линеаризации.

Рассмотрим методику составления дифференциальных уравнений элементов, допускающих линеаризацию. К числу таких элементов относится большинство объектов автоматического регулирования.

Первым шагом в составлении уравнения динамики выделенного элемента системы автоматического регулирования является выявление физического закона, определяющего его поведение. Обычно таким законом является закон сохранения вещества (объекты регулирования уровня, давления), закон сохранения энергии (объекты регулирования температуры), второй закон Ньютона (объекты регулирования скорости, центробежный маятник и др.) или какой-либо из других основных законов физики. Математическое выражение соответствующего физического закона, который определяет процесс, протекающий в данном элементе системы регулирования, и является исходным дифференциальным уравнением этого элемента.

Например, для системы регулирования числа оборотов двигателя исходным уравнением объекта будет

где — угловая скорость вала двигателя; — момент инерции движущихся частей, приведенный к валу двигателя; — движущий момент, приложенный к валу; — момент сопротивления на валу двигателя; — время.

Вторым шагом должно быть определение факторов, от которых зависят переменные, входящие в исходное уравнение, и установление выражений, характеризующих эту зависимость. Последние могут быть аналитическими функциями или заданы графически. В большинстве случаев они являются нелинейными зависимостями. Подставив найденные выражения в исходное уравнение, получаем нелинейное уравнение элемента (в частности, объекта регулирования).

Для нашего примера необходимо установить, от каких величин зависят и какими выражениями определяются движущий момент момент сопротивления и является ли постоянной величиной приведенный момент инерции

Для случая регулирования числа оборотов авиационного двигателя при помощи винта с изменяющимся шагом движущий момент зависит от угловой скорости двигателя и величины наддува,

которая задается летчиком и не может быть заранее определена (является неизвестной функцией времени). Поэтому можем написать

Момент сопротивления зависит от угловой скорости двигателя, угла установки лопасти винта и ряда других факторов (плотности воздуха, скорости полета и др.), изменение которых учесть затруднительно. Допустим, что выражение для момента сопротивления имеет вид

На основании теории двигателей можно получить аналитические выражения полученных функций или представить их в виде графиков. Приведенный к валу двигателя момент инерции вращающихся частей будем считать постоянным.

С целью упрощения исследования процесса регулирования линеаризируем полученное уравнение, убедившись в допустимости линеаризации. Отсутствие разрывных, неоднозначных или резко изгибающихся характеристик и справедливость уравнения в течение всего интервала времени регулирования обычно являются достаточными признаками возможности проводить линеаризацию.

Линеаризацию уравнений производят при помощи формулы Тейлора, которая позволяет разложить нелинейную функцию нескольких переменных по степеням малых приращений этих переменных, взятых в окрестности их значений, соответствующих установившемуся режиму, как это уже указывалось выше. Формула содержит остаточный член, исследование которого позволяет оценить величину ошибки, получающейся в том случае, когда ограничиваются первыми членами разложения. Формула Тейлора, например, для трех переменных имеет вид

где — остаточный член.

Показатели степени, в которую возводятся выражения, стоящие в скобках, имеют символический смысл. Они указывают на необходимость выполнения при раскрытии скобок операций, ясных из следующего примера для второй степени:

Частные производные вычисляются в точке с координатами и поэтому являются постоянными.

При линеаризации нелинейных уравнений обычно ограничиваются лишь членами первого порядка малости, пренебрегая остаточным членом т. е. полагают, что

Для исследования устойчивости процесса регулирования такого приближения в большинстве случаев вполне достаточно. Однако иногда линеаризованные уравнения используются для исследования качества процесса регулирования, и в этом случае приращения переменных могут быть не всегда малыми. Тогда для строгой оценки допускаемой погрешности проводится анализ остаточного члена который удобнее всего брать в форме Лагранжа:

В последнем выражении и частные производные, вычисленные в точке с координатами , где

Найдем выражение приращения функции , которое определим как разность между текущим значением этой функции и ее значением в некоторой фиксированной точке, заданной координатами Учитывая выражение (IV.64) с точностью до можно записать

Полученным выражением удобнее всего пользоваться при линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений.

Для того чтобы непосредственно применить найденное из формулы Тейлора выражение для приращения нелинейной функции к линеаризации дифференциального уравнения, необходимо несколько преобразовать последнее.

Составим уравнение установившегося режима для данного элемента (объекта регулирования) и вычтем его из уравнения динамики элемента. Тогда в правой части уравнения будут только приращения нелинейных функций относительно их значений в установившемся режиме, для определения которых мы получили выражение из формулы Тейлора.

В качестве установившегося режима может выбираться либо режим, существовавший до действия возмущения и начала

переходного процесса, либо режим, который установится после затухания переходного процесса. При установившемся режиме до начала переходного процесса или после его окончания приращения переменных должны соответственно отсчитываться от их постоянных значений. Заметим, что если отсчет приращений переменных (обобщенных координат) производить от их значений при новом установившемся режиме, наступающем после окончания переходного процесса, то с течением времени приращения всех переменных стремятся к нулю (для устойчивых систем).

Для взятого примера уравнение установившегося режима будет

Далее примем

Вычитая из исходного уравнения динамики (IV.62) уравнение статики (уравнение установившегося режима) (IV.66), получим уравнение в приращениях или в вариациях:

Приведя уравнение динамики к такому виду, при его линеаризации мы можем пользоваться не выражением (IV.64), а уже более простым выражением (IV.65) для приращения функций и

Найдем отдельно каждое из этих приращений, обозначив через составляющие приращений изменяющиеся во времени по неизвестному или заданному закону:

Угол установки лопасти винта изменяется при помощи исполнительного механизма регулятора, координату которого обозначим через тогда

Функция обычно задается графически и частная производная определяется как тангенс угла наклона касательной к кривой в точке, соответствующей установившемуся режиму. Тогда

Подставляя полученные выражения в уравнение (IV.67), получим

Перенеся в левую часть члены, содержащие и обозначив

найдем

Таким образом, мы получили линеаризованное уравнение в отклонениях (или в приращениях, в вариациях), выраженных в абсолютных единицах.

До сих пор при выводе уравнений мы имели дело с абсолютными величинами, с именованными единицами. Размерность каждого члена уравнения — вполне определенная. В нашем примере каждый член уравнения имеет размерность момента. Однако при исследовании систем регулирования, особенно при сравнении таких систем и их элементов между собой, большие удобства представляют уравнения в относительных единицах с безразмерными коэффициентами или с коэффициентами, имеющими размерность времени в степени, равной порядку производной, при которой стоит данный коэффициент.

Для приведения дифференциального уравнения в абсолютных отклонениях к уравнению в относительных единицах с безразмерными коэффициентами произведем следующие элементарные операции:

1. Разделим все члены уравнения на некоторую постоянную величину, имеющую размерность членов этого уравнения (в нашем примере — размерность момента). Такой величиной обычно выбирается номинальное значение, максимальное значение или некоторое начальное значение данной переменной.

В рассматриваемом примере возьмем номинальное значение момента Мн и разделим на него почленно уравнение (IV.68):

В результате этого каждый член уравнения стал безразмерным.

2. Перейдем к относительным единицам.

Выберем некоторые постоянные значения для каждой координаты, для каждого приращения, входящего в полученное уравнение, и отнесем к нему его приращение. Так, для угловой скорости примем ее номинальное значение сон, для координаты серводвигателя — его максимальный ход Умножим и разделим каждый член уравнения, в который входит та или иная переменная, на соответствующую ей выбранную постоянную величину

После этого уравнение в рассматриваемом примере будет иметь следующий вид:

Учитывая, что

и т. д., можно написать

3. Введем обозначения относительных единиц и коэффициентов уравнения.

В нашем примере обозначим

Подставляя эти обозначения в полученное уравнение, найдем

Обозначая

получим окончательно

Следовательно, все величины, входящие в уравнение (IV.70), за исключением времени и постоянной приведены к безразмерному виду.

На практике пользуются двумя формами уравнений в относительных единицах. В первой форме, полученной нами выше, время не приводится к безразмерному виду, и тогда при каждой производной, входящей в дифференциальное уравнение, стоит коэффициент, имеющий размерность времени в степени, равной порядку

производной: при первой производной коэффициент имеет размерность сек, при второй производной — , при третьей — и т. д. Во второй форме время, как и все другие переменные, приводят к безразмерному виду. Для этого его относят к некоторой постоянной времени, чаще всего к времени или так называемой постоянной времени звена

Рассмотрим переход к уравнению с безразмерным временем.

Рис. IV.7. Размерный и безразмерный масштаб времени

Первый член дифференциального уравнения (IV.70) можно представить в следующем виде:

где

Таким преобразованием мы получили безразмерный коэффициент при первом члене дифференциального уравнения, в данном случае единицу, и перешли к безразмерному времени т. После этого рассматриваем процесс регулирования, протекающим не во времени (рис. IV.7, а), измеренном в единицах а во времени измеренном в другом масштабе, в единицах (рис. IV.7, б).

Дифференциальное уравнение (IV.70) после этого примет вид

Систему относительных единиц с безразмерным временем обычно удобно применять при моделировании, когда необходимо изменить масштаб времени процесса, приспособляя его к возможностям моделирующей установки.

В классической теории регулирования обычно используется первая форма относительных единиц, в которой время не приводится к безразмерному виду.