4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА КОРНЕЙ
Вывод основного уравнения для аналитического построения траекторий корней [2], [5]. Вывод уравнения, позволяющего по точкам строить траектории корней семейства характеристических уравнений, заданного в виде выражения (XVII.10), основывается на разложении в ряд целых полиномов комплексного аргумента имеющего вид
Применим формулу (XVI 1.35) к обоим полиномам общего выражения семейства характеристических уравнений
Приравняв порознь нулю действительные и мнимые части, получим
Исключив из этих уравнений свободный параметр найдем выражение, связывающее абсциссу и ординату любой точки геометрического места корней уравнения (XVII. 10):
На это равенство мы можем смотреть как на уравнение, позволяющее по заданной абсциссе найти частоты при которых прямая, перпендикулярная к действительной оси, проведенная через любую точку пересекает траектории корней системы (XVII. 10). Конечно, такой смысл можно придать только действительным положительным корням (XVII.37).
Из равенств (XVII.36), решая их относительно получим формулы для вычисления значений свободного параметра, соответствующих заданному корню геометрического места:
По первой из этих формул можно вычислить значения соответствующие как действительным (положив ), так и комплексно-сопряженным точкам траекторий корней, по второй — только комплексно-сопряженным.
В частном случае, при выражение (XVI 1.37) дает уравнение критических частот, т. е. точек пересечения траекторий комплексно-сопряженных корней с мнимой осью, а при — уравнение кратных точек (XVII.24). Из уравнения (XVII.38) при получаем соответствующие критические значения свободного параметра.
Из выражения (XVI 1.32) можно получить уравнение критических частот в виде
Аналогично, уравнение критических значений свободного параметра получаем в виде
В частном случае систем без предельных точек все уравнения значительно упрощаются, так как и характеристическое уравнение (XVII. 10) принимает вид
Полагая в формуле (XVI 1.37) а все производные от М (6) нулями, получаем основное аналитическое уравнение траекторий в виде
Для значений параметра вместо (XVI 1.38) имеем
тогда согласно выражению (XVI 1.24) уравнение кратных точек принимает вид
В этом случае уравнение критических частот и критического параметра соответственно будет
Сделаем замечания относительно общих свойств систем с характеристическим уравнением вида (XVII.41). Сравнив число пар комплексно-сопряженных асимптот, пересекающих мнимую ось, с
числом корней уравнений критических частот (XVII.45), легко убедиться, что числа эти для систем без предельных точек типа уравнения (XVII.41) совпадают при любом Отсюда следует, что в системах без предельных точек, устойчивых при траектория каждого корня, идущего по направлению комплексно-сопряженных асимптот, уходящих вправо, пересекает мнимую ось один и только один раз (математически это означает, что все корни уравнения критических частот систем этого типа действительны и положительны).
Системы, область устойчивости которых включает интервал
особо важны практически, поэтому мы будем далее называть их абсолютно устойчивыми. Следовательно, среди линейных систем без предельных точек абсолютно устойчивыми являются лишь системы второго и первого порядков, все начальные точки которых лежат в левой полуплоскости комплексного переменного
Ранее нами был рассмотрен порядок качественного построения траекторий корней геометрическим методом. Теперь рассмотрим порядок построения траекторий аналитическим методом. В качестве примера воспользуемся уравнением (XVII.34), откуда получим
где
Из общего уравнения траекторий (XVII.37) получаем для системы класса
Заменяя в выражении (XVII.48) на находим необходимые производные от полиномов
Подставляя эти значения в выражение (XVII.49), получим окончательный вид уравнения траекторий:
Из построенных траекторий (рис. XVII.4, а) видно, что для уточнения достаточно найти аналитически значения со для следующих 6 (табл XVII.1):
Таблица XVII.1
Нанесем эти значения на рис. XVII.4, а.
Из уравнения (XVI 1.24) кратных точек получим
Необходимо найти положение одной двукратной точки, т. е. один действительный корень (XVII.52), так как из качественного построения известно приближенное положение этой двукратной точки, то ее точное положение находится методом Ньютона
Полагая в уравнении (XVII.51) получаем уравнение критических частот
откуда
В этом случае формула для свободного параметра (XVII.38) принимает
тогда критическое значение свободного параметра равно
При имеем что соответствует пределам изменения для устойчивых состояний системы:
Рассмотрим корневой годограф системы класса
На рис. XVII.4, б разместим основные точкц. Определим центр асимптот по формуле
Асимптоты расположены под углом друг к другу. На рис. XVI 1.4 б нанесены углы выхода корней из начальной комплексной точки, определенные из основного фазового уравнения. Уравнение траекторий корней согласно выражению (XVII.37)
В табл XVII.2 даны значения а), вычисленные для интервала
Таблица XVII.2
Нанеся эти значения на рис. XVII, 46, получим полную картину траекторий корней рассматриваемой системы.