7. ВЛИЯНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ НА ПЕРЕХОДНУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ h(t)

Для обобщения и обоснования выводов о поведении системы, приведенных в последнем примере, рассмотрим рис. XVI 1.9, на котором показано расположение нулей и полюсов устойчивой замкнутой системы, являющееся типичным и достаточно общим. Ближайшими к мнимой оси являются комплексно-сопряженные полюсы и Как показано в ряде работ [19], [24], [26], [34], при удалении от начала плоскости полюсов амплитуды соответствующих составляющих убывают тем быстрее, чем больше модуль полюса по сравнению с доминирующими полюсами Например, если модули возрастают по геометрической прогрессии со знаменателем то их амплитуды меньше, чем амплитуда колебательной составляющей соответствующей полюсам . В этом мы убедились при рассмотрении примера, который приведен выше. Если вблизи полюсов расположены нули, то при достаточно малом расстоянии между полюсами и нулями становятся, соответственно малыми. Это следует из выражения (XVI 1.66), в котором числитель обращается в нуль для слагаемого при

Таким образом, для системы с расположением нулей и полюсов, как показано на рис. XVII.9, к моменту времени когда колебательная составляющая переходной характеристики, имеющая наибольшую амплитуду и наименьшее затухание сделается равной заранее обусловленному достаточно малому числу, например от установившегося значения все остальные составляющие заведомо затухнут, так как меньше, чем

Следовательно, время переходного процесса системы может быть определено по формуле

или при

Приведенные выше положения справедливы и в том случае, когда между доминирующими полюсами и началом координат плоскости есть другие полюсы, но почти компенсированные близкими к ним нулями.

Рис. XVII.9. Расположение нулей и полюсов устойчивой замкнутой системы

Полюс и нуль можно считать близкими, если расстояние между ними на порядок меньше их модуля, т. е. при выполнении условия

В выражение (XXII.69) для оценки длительности переходного процесса введено затухание доминирующих полюсов и амплитуда соответствующая полюсам колебательной составляющей зависящая от всех полюсов и нулей замкнутой системы. Однако изменение в пределах от 1 до 10 только на 75% изменяет Если ближайшим к оси является вещественный полюс, то

Для оценки выброса системы примем во внимание следующее обстоятельство. Из выражения (XVI 1.66) имеем

Последнюю формулу можно также записать в виде

(в предположении, что только полюсы комплексные), знаки перед каждым из слагаемых типа правильно чередуются: и т.д., если передаточная функция имеет нулей. В противном же случае правильное чередование знаков нарушается в том месте, где перед полюсом находится нуль. При этом перед ставится противоположный знак.

Рис. XVII. 10. Переходные характеристики устойчивой системы и ее составляющие

Затем чередование плюса и минуса продолжается. Из сказанного следует, что алгебраическая сумма затухающих экспонент меньше, чем наибольшая Втект из экспонент, входящих в эту сумму. Точное вычисление выброса а из выражения (XVI 1.70) невозможно. Однако достаточное для практики приближение можно получить, если вычислить о в пренебрежении а затем к полученному значению а прибавить А а, равное этой (или равное где — момент достижения функцией своего максимума (рис. XVII.10).

После этого находим дифференцируя

Затем, положив находим

Для первого выброса о следует положить Угол представляющий собой аргумент комплексной амплитуды равен

где — углы векторов, проведенных из нулей в полюс (число нулей равно );

— углы векторов, проведенных из всех полюсов в полюс

Следовательно,

так как

то

или

ввиду того, что аргумент вектора равен у. Учтя, что и при (где ), получим

Из выражения (XVII.74) следует, в частности, что для системы второго порядка без нулей поэтому а равно точному значению

как и должно быть для этой системы Далее заметим, что в выражении (XVI 1.74) учитывается влияние всех нулейи полюсов системы на величину а, ибо амплитуда зависит от модулей векторов, проведенных из всех полюсов и нулей в полюс а показатель степени от фаз этих векторов.

Рис. XVII.11. Зависимость максимума перерегулирования от относительного коэффициента затухания (для систем, описываемых уравнениями второго порядка)

Следовательно, а зависит от взаимного расположения всех нулей и полюсов замкнутой функции системы.

Выброс системы а оказывается равным а в том случае, если к моменту все экспоненты суммы успевают сделаться достаточно малыми. В противном случае к величине следует прибавить их алгебраическую сумму, вычисленную для момента Окончательное выражение для приближенной оценки выброса будет

где

Формула (XVII.75) для просматриваемых точек корневых годографов позволяет приближенно оценить величину выброса. Она представляет также и теоретический интерес, так как с ее помощью возможно определить, в каком направлении изменяется выброс при перемещении нулей и полюсов замкнутой системы. Анализируя формулу (XVI 1.75), заметим, что выброс возрастает при уменьшении декремента затухания системы при приближении нулей к началу координат плоскости и удалении от него недоминирующих полюсов

В самом деле, приближение нулей к началу координат плоскости увеличивает , которая влияет на а в том же направлении,

что и уменьшение декремента затухания Наоборот, приближение недоминирующих полюсов к началу координат плоскости увеличивая сумму углов влияет на а в противоположном направлении, т. е. уменьшает а.

Этот важный вывод о влиянии нулей и полюсов на форму переходной характеристики позволяет качественно оценить без всяких вычислений характер переходных процессов при различных значениях параметра К (или корневого годографа.

Как длительность переходного процесса так и выброс о зависят [см. выражения (XVII.69) и (XVII.75)] от амплитуды колебательной составляющей Амплитуду вычисляют по следующей формуле:

Из последнего выражения видно, что возрастает, когда вблизи оказывается один или несколько из полюсов а также если нули приближаются к началу координат плоскости Действительно, уменьшение любого множителя знаменателя вызывает увеличение Для объяснения влияния нулей на вспомним, что

где из условия имеем

Если та же система не имеет нулей, то справедливо соотношение

Следовательно, . В этом случае выражение для можно записать в виде

где первый сомножитель представляет собой значение при отсутствии нулей, а второй — показывает увеличение вследствие влияния нулей. При нуле стремящемся к началу координат плоскости этот множитель соответственно возрастает, увеличивая При этом из формул (XVI 1.69) и (XVI 1.75) следует, что время переходного процесса и выброс о возрастают.

Рис. XVII. 12. Расположение нулей и полюсов для трех простейших передаточных функций: но для двух различных числовых значений

Таким образом, приближение любого полюса к доминирующему полюсу и приближение нуля к началу координат плоскости увеличивают время переходного процесса и перерегулирование а.

Пример 1. Проиллюстрируем на следующем примере изложенные выше положения. Для элементарной системы с передаточной функцией

не имеющей нулей (рис. XVII. 12, а)

Для системы с теми же полюсами, но с нулем у (рис. XVII. 12, б) имеем

где

Для этой системы

или

где

Из последнего выражения и рис. XVII.12, б видно, что если то При благодаря множителю соответственно возрастает.

Вычислим длительность переходного процесса и выброс о для данной системы, когда

при имеем Согласно формуле (XVII.69а)

и выброс

при получаем (для простоты принято и длительность переходного процесса

а выброс в соответствии с выражением (XVI 1.74)

Оценивая влияние нуля очень близкого к началу координат плоскости (он в 10 раз ближе, чем полюс ), мы замечаем, что амплитуда увеличилась в 10 раз, но длительность переходного процесса возросла только на 75%. Поэтому можно приближенно оценивать длительность переходного процесса по формуле (XVI 1.69), полагая в ней (или В) равными 1. Выброс увеличился в 31 раз по сравнению с прежним его значением, когда не было нуля: в 10 раз из-за роста амплитуды и в 3,15 раза из-за влияния фазы Физический смысл такого большого влияния нуля состоит в том, что в систему введен значительный дополнительный сигнал по первой производной, создающий сильный импульс в самом начале переходного процесса.

Пример 2. Вычислим для случая, рассмотренного в начале настоящего параграфа, длительность переходного процесса и выброс системы а при значении общего коэффициента усиления

Как было показано, при доминирующие полюсы и нуль Значения вычисленные ранее при этих данных, равны Согласно формуле (XVII.696)

в которой длительность переходного процесса определяется амплитудой и затуханием наиболее близкого к мнимой оси полюса не вполне компенсированного нулем

Если бы мы определили длительность по амплитуде то получили бы неверное значение сек.

Выброс а согласно формуле (XVII.74)

Момент достижения максимума согласно формуле (XVII.73)

При этом значение экспоненциальной составляющей, дающей поправку

Выброс (с учетом знака ):

т. е. выброс в данном случае отсутствует.

При система передемпфирована, процесс затянут и длительность его равна

т. е. на 70% больше, чем при

В заключение сформулируем выводы о влиянии расположения нулей и полюсов замкнутой системы на основные показатели переходной характеристики

1. Длительность переходной характеристики (процесса) в основном зависит от абсолютного значения действительной части ближайшей к мнимой оси плоскости комплексных полюсов замкнутой системы или действительного полюса, если он является ближайшим к оси При этом мы предполагали, что указанные полюса не компенсированы достаточно близкими к ним нулями. Длительность процесса определяется формулами (XVII.69а) или (XVI 1.696), в которых в перврм приближении можно положить или равными 1,

2. Выброс переходной характеристики а зависит от декремента затухания доминирующих комплексных полюсов и от степени близости к началу координат плоскости остальных полюсов и нулей замкнутой системы.

3. Близкие к началу координат плоскости нули увеличивают выброс, а близкие (но не доминирующие) полюсы его уменьшают. При этом выброс определяют по формуле (XVII.74).