Главная > Теория автоматического регулирования. Книга 1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

7. ВЛИЯНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ НА ПЕРЕХОДНУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ h(t)

Для обобщения и обоснования выводов о поведении системы, приведенных в последнем примере, рассмотрим рис. XVI 1.9, на котором показано расположение нулей и полюсов устойчивой замкнутой системы, являющееся типичным и достаточно общим. Ближайшими к мнимой оси являются комплексно-сопряженные полюсы и Как показано в ряде работ [19], [24], [26], [34], при удалении от начала плоскости полюсов амплитуды соответствующих составляющих убывают тем быстрее, чем больше модуль полюса по сравнению с доминирующими полюсами Например, если модули возрастают по геометрической прогрессии со знаменателем то их амплитуды меньше, чем амплитуда колебательной составляющей соответствующей полюсам . В этом мы убедились при рассмотрении примера, который приведен выше. Если вблизи полюсов расположены нули, то при достаточно малом расстоянии между полюсами и нулями становятся, соответственно малыми. Это следует из выражения (XVI 1.66), в котором числитель обращается в нуль для слагаемого при

Таким образом, для системы с расположением нулей и полюсов, как показано на рис. XVII.9, к моменту времени когда колебательная составляющая переходной характеристики, имеющая наибольшую амплитуду и наименьшее затухание сделается равной заранее обусловленному достаточно малому числу, например от установившегося значения все остальные составляющие заведомо затухнут, так как меньше, чем

Следовательно, время переходного процесса системы может быть определено по формуле

или при

Приведенные выше положения справедливы и в том случае, когда между доминирующими полюсами и началом координат плоскости есть другие полюсы, но почти компенсированные близкими к ним нулями.

Рис. XVII.9. Расположение нулей и полюсов устойчивой замкнутой системы

Полюс и нуль можно считать близкими, если расстояние между ними на порядок меньше их модуля, т. е. при выполнении условия

В выражение (XXII.69) для оценки длительности переходного процесса введено затухание доминирующих полюсов и амплитуда соответствующая полюсам колебательной составляющей зависящая от всех полюсов и нулей замкнутой системы. Однако изменение в пределах от 1 до 10 только на 75% изменяет Если ближайшим к оси является вещественный полюс, то

Для оценки выброса системы примем во внимание следующее обстоятельство. Из выражения (XVI 1.66) имеем

Последнюю формулу можно также записать в виде

(в предположении, что только полюсы комплексные), знаки перед каждым из слагаемых типа правильно чередуются: и т.д., если передаточная функция имеет нулей. В противном же случае правильное чередование знаков нарушается в том месте, где перед полюсом находится нуль. При этом перед ставится противоположный знак.

Рис. XVII. 10. Переходные характеристики устойчивой системы и ее составляющие

Затем чередование плюса и минуса продолжается. Из сказанного следует, что алгебраическая сумма затухающих экспонент меньше, чем наибольшая Втект из экспонент, входящих в эту сумму. Точное вычисление выброса а из выражения (XVI 1.70) невозможно. Однако достаточное для практики приближение можно получить, если вычислить о в пренебрежении а затем к полученному значению а прибавить А а, равное этой (или равное где — момент достижения функцией своего максимума (рис. XVII.10).

После этого находим дифференцируя

Затем, положив находим

Для первого выброса о следует положить Угол представляющий собой аргумент комплексной амплитуды равен

где — углы векторов, проведенных из нулей в полюс (число нулей равно );

— углы векторов, проведенных из всех полюсов в полюс

Следовательно,

так как

то

или

ввиду того, что аргумент вектора равен у. Учтя, что и при (где ), получим

Из выражения (XVII.74) следует, в частности, что для системы второго порядка без нулей поэтому а равно точному значению

как и должно быть для этой системы Далее заметим, что в выражении (XVI 1.74) учитывается влияние всех нулейи полюсов системы на величину а, ибо амплитуда зависит от модулей векторов, проведенных из всех полюсов и нулей в полюс а показатель степени от фаз этих векторов.

Рис. XVII.11. Зависимость максимума перерегулирования от относительного коэффициента затухания (для систем, описываемых уравнениями второго порядка)

Следовательно, а зависит от взаимного расположения всех нулей и полюсов замкнутой функции системы.

Выброс системы а оказывается равным а в том случае, если к моменту все экспоненты суммы успевают сделаться достаточно малыми. В противном случае к величине следует прибавить их алгебраическую сумму, вычисленную для момента Окончательное выражение для приближенной оценки выброса будет

где

Формула (XVII.75) для просматриваемых точек корневых годографов позволяет приближенно оценить величину выброса. Она представляет также и теоретический интерес, так как с ее помощью возможно определить, в каком направлении изменяется выброс при перемещении нулей и полюсов замкнутой системы. Анализируя формулу (XVI 1.75), заметим, что выброс возрастает при уменьшении декремента затухания системы при приближении нулей к началу координат плоскости и удалении от него недоминирующих полюсов

В самом деле, приближение нулей к началу координат плоскости увеличивает , которая влияет на а в том же направлении,

что и уменьшение декремента затухания Наоборот, приближение недоминирующих полюсов к началу координат плоскости увеличивая сумму углов влияет на а в противоположном направлении, т. е. уменьшает а.

Этот важный вывод о влиянии нулей и полюсов на форму переходной характеристики позволяет качественно оценить без всяких вычислений характер переходных процессов при различных значениях параметра К (или корневого годографа.

Как длительность переходного процесса так и выброс о зависят [см. выражения (XVII.69) и (XVII.75)] от амплитуды колебательной составляющей Амплитуду вычисляют по следующей формуле:

Из последнего выражения видно, что возрастает, когда вблизи оказывается один или несколько из полюсов а также если нули приближаются к началу координат плоскости Действительно, уменьшение любого множителя знаменателя вызывает увеличение Для объяснения влияния нулей на вспомним, что

где из условия имеем

Если та же система не имеет нулей, то справедливо соотношение

Следовательно, . В этом случае выражение для можно записать в виде

где первый сомножитель представляет собой значение при отсутствии нулей, а второй — показывает увеличение вследствие влияния нулей. При нуле стремящемся к началу координат плоскости этот множитель соответственно возрастает, увеличивая При этом из формул (XVI 1.69) и (XVI 1.75) следует, что время переходного процесса и выброс о возрастают.

Рис. XVII. 12. Расположение нулей и полюсов для трех простейших передаточных функций: но для двух различных числовых значений

Таким образом, приближение любого полюса к доминирующему полюсу и приближение нуля к началу координат плоскости увеличивают время переходного процесса и перерегулирование а.

Пример 1. Проиллюстрируем на следующем примере изложенные выше положения. Для элементарной системы с передаточной функцией

не имеющей нулей (рис. XVII. 12, а)

Для системы с теми же полюсами, но с нулем у (рис. XVII. 12, б) имеем

где

Для этой системы

или

где

Из последнего выражения и рис. XVII.12, б видно, что если то При благодаря множителю соответственно возрастает.

Вычислим длительность переходного процесса и выброс о для данной системы, когда

при имеем Согласно формуле (XVII.69а)

и выброс

при получаем (для простоты принято и длительность переходного процесса

а выброс в соответствии с выражением (XVI 1.74)

Оценивая влияние нуля очень близкого к началу координат плоскости (он в 10 раз ближе, чем полюс ), мы замечаем, что амплитуда увеличилась в 10 раз, но длительность переходного процесса возросла только на 75%. Поэтому можно приближенно оценивать длительность переходного процесса по формуле (XVI 1.69), полагая в ней (или В) равными 1. Выброс увеличился в 31 раз по сравнению с прежним его значением, когда не было нуля: в 10 раз из-за роста амплитуды и в 3,15 раза из-за влияния фазы Физический смысл такого большого влияния нуля состоит в том, что в систему введен значительный дополнительный сигнал по первой производной, создающий сильный импульс в самом начале переходного процесса.

Пример 2. Вычислим для случая, рассмотренного в начале настоящего параграфа, длительность переходного процесса и выброс системы а при значении общего коэффициента усиления

Как было показано, при доминирующие полюсы и нуль Значения вычисленные ранее при этих данных, равны Согласно формуле (XVII.696)

в которой длительность переходного процесса определяется амплитудой и затуханием наиболее близкого к мнимой оси полюса не вполне компенсированного нулем

Если бы мы определили длительность по амплитуде то получили бы неверное значение сек.

Выброс а согласно формуле (XVII.74)

Момент достижения максимума согласно формуле (XVII.73)

При этом значение экспоненциальной составляющей, дающей поправку

Выброс (с учетом знака ):

т. е. выброс в данном случае отсутствует.

При система передемпфирована, процесс затянут и длительность его равна

т. е. на 70% больше, чем при

В заключение сформулируем выводы о влиянии расположения нулей и полюсов замкнутой системы на основные показатели переходной характеристики

1. Длительность переходной характеристики (процесса) в основном зависит от абсолютного значения действительной части ближайшей к мнимой оси плоскости комплексных полюсов замкнутой системы или действительного полюса, если он является ближайшим к оси При этом мы предполагали, что указанные полюса не компенсированы достаточно близкими к ним нулями. Длительность процесса определяется формулами (XVII.69а) или (XVI 1.696), в которых в перврм приближении можно положить или равными 1,

2. Выброс переходной характеристики а зависит от декремента затухания доминирующих комплексных полюсов и от степени близости к началу координат плоскости остальных полюсов и нулей замкнутой системы.

3. Близкие к началу координат плоскости нули увеличивают выброс, а близкие (но не доминирующие) полюсы его уменьшают. При этом выброс определяют по формуле (XVII.74).

1
Оглавление
email@scask.ru