ГЛАВА XIX. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ И КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Метод интегральных критериев и оценок качества регулирования можно отнести к аналитическим методам, хотя в сложных случаях он требует значительных численных расчетов и эффективен при использовании аналоговых или цифровых вычислительных машин. Его с равным успехом можно применить как для линейных непрерывных, так и линейных импульсных систем. Интегральные критерии оптимальности используются и при решении общих задач синтеза нелинейных систем. Ниже данный метод рассматривается в основном применительно к линейным стационарным непрерывным системам.

Интегральной оценкой называется определенный интеграл по времени некоторой функции от координат системы. Если состояние системы характеризуется координатами то интегральной квадратичной оценкой общего вида называется интеграл от квадратичной формы этих координат:

где — заданные коэффициенты квадратичной формы; — также интегральные квадратичные оценки.

Для системы, состояние которой характеризуется одной величиной и ее производными, интегральными квадратичными оценками служат

или в более общем случае

где - постоянные величины, имеющие размерность времени.

Линейными интегральными оценками называются определенные интегралы по времени линейных функций координат или произведений этих функций на заданные функции времени. Так, линейными интегральными оценками являются

Помимо указанных квадратичных и линейных оценок, в теории оптимальных систем используются также функционалы более общего вида

где — заданная функция.

Эти функционалы также являются интегральными критериями.

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ОЦЕНОК

Способы, использующие систему дифференциальных уравнений. Пусть собственное движение линейной устойчивой стационарной системы описывается уравнениями первого порядка:

Умножив каждое из этих уравнений на и проинтегрировав в пределах от 0 до получим

где

Если не принимать во внимание соотношения то уравнений (XVIII.2) содержат неизвестных неизвестных вида

Число уравнений становится равным числу неизвестных, если, интегрируя по частям, записать

Обозначая и учитывая, что в силу условия устойчивости последние уравнения представим в виде

Уравнения (XIX.2), (XIX.3) представляют собой замкнутую систему уравнений. Можно показать, что из условия устойчивости вытекает неравенство нулю главного определителя этой системы уравнений. Таким образом, линейные уравнения (XIX.2), (XIX.3) для устойчивой системы всегда разрешимы и определяют все интегральные оценки вместе с величинами Этот способ впервые был предложен в работе, посвященной исследованию переходных процессов в электрических связанных контурах [13].

Переставив индексы в уравнении а затем сложив полученное таким образом уравнение с первоначальным и использовав выражение (XVIII.3), исключаем неизвестные вида

Особенно компактна матричная форма записи этой системы уравнений:

где — квадратные матрицы; индекс Т обозначает транспонированную матрицу.

Известно, что Но поэтому матричное уравнение можно представить также в виде

Несмотря на компактную форму выражения (XIX.5) или (XIX.6) для уравнений интегральных квадратичных оценок, развернутые выражения этих оценок через коэффициенты и начальные условия громоздки. Это обусловливает то, что запись окончательных

формул для в общем развернутом виде нецелесообразна. Таким образом, данное решение задачи определения интегральных квадратичных оценок носит характер скорее алгоритма, чем окончательных формул.

Другим недостатком данного способа является то, что в нем рассматриваются только однородные дифференциальные уравнения или дифференциальные уравнения, приводимые к однородным. Для применения данного способа к переходным процессам, вызванным ступенчатыми или импульсными воздействиями, необходимо учитывать влияние этих воздействий путем преобразования в эквивалентные начальные условия.

В работе [17] был предложен способ вычисления интегральных квадратичных оценок, который по объему необходимых преобразований эквивалентен изложенному, но раскрывает некоторую связь этих оценок с функцией Ляпунова. Этот способ заключается в следующем. Допустим, что требуется определить оценку для решения системы дифференциальных уравнений (XIX.1) при заданных начальных условиях.

Будем искать квадратичную форму

производная по времени которой может быть определена из системы дифференциальных уравнений (XIX.I) в виде х:

Тогда для устойчивой системы

Равенство (XIX.8) будет иметь место при любых х, только если

где не равны

В матричной форме эти уравнения имеют вид

где — так называемая матричная единица, т. е. матрица, у которой единственным отличным от нуля элементом является единица, стоящая в строке столбце.

Строго говоря, для матрицы В и ее элементов следовало бы ввести дополнительные индексы Однако во избежание громоздких индексов мы не будем этого делать.

Итак, интегральная квадратичная оценка равна квадратичной форме начальных значений координат:

матрица коэффициентов которой определяется уравнением вида

Уравнения (XIX.10), (XIX.11) эквивалентны уравнению (XIX.6) в том отношении, что из выражений (XIX.10), (XIX.11) можно получить уравнение (XIX.6) и наоборот. Что касается объема вычислений при решении уравнений (XIX.6) и (XIX.10), (XIX.11), то он примерно одинаков. В первом случае необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений (с учетом систему уравнений) относительно интересующей нас оценки Правые части всех уравнений, при здесь отличны от нуля.

Во втором случае необходимо решить аналогичную систему уравнений, в которой, однако, лишь одна правая часть отлична от нуля. В этом отношении решение уравнения (XIX. 11) проще, чем решение уравнения (XIX.6). Зато уравнение (XIX.11) необходимо решить относительно всех неизвестных, входящих в матрицу В, так как эти величины фигурируют в окончательном выражении (XIX.10).

Если требуется вычислить более общую интегральную квадратичную оценку, а именно, интегральную оценку § квадратичной формы

где — заданные величины, то при первом способе решают уравнение (XIХ.6) и используют соотношение

При втором способе ищут квадратичную форму выражения (XIX.7), производная которой в силу исходных дифференциальных уравнений была бы равна —V. При этом вместо матричного уравнения (XIX. 11) получают матричное уравнение вида

Сама же интегральная оценка определяется по прежней формуле

Если V — определенно положительная функция, а именно такой выбирается функция интегральной оценки, то, как видно из выражения (XIX. 13), также определенно положительная функция. Производная по времени функции ввиду соотношения определенно отрицательна. Известно, что определенно положительная функция, производная по времени которой в силу данных дифференциальных уравнений определенно отрицательна, является функцией Ляпунова. Итак, интегральная оценка определенно положительной квадратичной формы координат устойчивой линейной системы равна функции Ляпунова от начальных значений координат системы. Коэффициенты квадратичной формы, выражающей указанную функцию Ляпунова, определяют по уравнению (XIX.12).

Как уже отмечалось, буквенное выражение решения уравнения (XIX. 12) в общем случае весьма громоздко и в развернутом виде никогда не используется.

Способы, использующие преобразование Лапласа. В современной линейной теории регулирования чаще оперируют с передаточными функциями и преобразованиями Лапласа или Фурье, чем с дифференциальными уравнениями системы и начальными условиями. Поэтому наибольшее применение имеют те способы вычисления интегральных оценок, которые позволяют находить эти оценки непосредственно по изображениям оригиналов-координат.

Пусть преобразования Лапласа двух функций есть дробно-рациональные функции:

имеющие общий знаменатель, полюса с отрицательными действительными частями и

В частности, этим условиям удовлетворяют изображения любой пары координат однородной системы уравнений (XIX.1). Интегральная оценка

с помощью обратного преобразования Лапласа

может быть представлена в виде

Таким образом,

Согласно формуле (XIX. 14) подынтегральное выражение имеет вид

где

причем содержит лишь четные степени , а — нечетные степени.

Очевидно, что

поэтому

где

Интеграл (XIX. 16) сразу может быть представлен в виде суммы вычетов. Однако задача заключается в том, чтобы эту сумму выразить через коэффициенты исходных изображений.

В работах [1,2] приведен способ решения этой задачи и даны развернутые выражения интегральных квадратичных оценок через коэффициенты, аналогичные (для от 1 до 7). В ряде случаев требуются общие выражения (для произвольного интегральных квадратичных оценок через коэффициенты преобразования Лапласа или коэффициенты передаточной функции. Такие выражения были получены также в работе [5]. Первоначально задача решалась применительно к интегральной квадратичной оценке переходной составляющей реакции системы на ступенчатое воздействие. Это наложило определенный отпечаток на вид нижеследующей формулы.

Если функция имеет дробно-рациональное преобразование Лапласа

и корни уравнения

обладают отрицательными действительными частями, то

где

- определитель, получающийся из А заменой -гостолбца столбцом Определитель А равен старшему определителю Гурвица и обращается в нуль на соответствующем

участке границы области устойчивости. Если то преобразование Лапласа имеет вид

Предельное значение в этом случае равно нулю, т. е. Формула (XIX.19) принимает вид

Эту формулу можно еще упростить, если обратить внимание на то, что

где

— минор элемента верхней строки определителя .

Таким образом,

или

где — определитель, получающийся из заменой верхней строки строкой Формула (XIX.22) в работе [5] получена для случая Для случая в работах [5 — 7 и 9] рекомендуется применять несколько более громоздкую формулу.

Покажем, что для случая можно применять формулы, аналогичные (XIX.22), (XIX.23). Попутно поясним методику вывода формул на основе общих матричных уравнений (XIX.6). Первоначально рассмотрим функцию преобразование Лапласа которой имеет вид

Очевидно, что есть решение дифференциального уравнения

при начальных условиях

Заменой переменных это уравнение преобразуем в систему дифференциальных уравнений вида

при начальных условиях

Таким образом, матрица А [см. уравнение (XIX.6)] в этом случае имеет вид

а матрица пропорциональна матричной единице, где единственным отличным от нуля элементом является элемент последней строки и последнего столбца:

Теперь можно записать для данного случая матричное уравнение (XIX.6). Однако предварительно целесообразно упростить искомую матрицы интегральных оценок Действительно, при начальных условиях (XIX.25)

Эти формулы можно получить простым последовательным интегрированием по частям.

В соответствии с этим матрицу можно записать в виде

Вычислив произведение матриц а затем произведя транспонирование и сложение, можно убедиться, что все элементы матрицы кроме элементов нижней строки и последнего столбца, равны нулю. Приравнивание элементов последней строки (столбца) этой матрицы элементам последней строки (столбца) матрицы

дает следующую систему уравнения:

Решение этой системы уравнений есть

где А — главный определитель (XIX.20);

— алгебраическое дополнение элемента строки столбца этого определителя.

Если имеет преобразование Лапласа

то очевидно

Поэтому с учетом выражений (XIX.25), (XIX.26)

Подставляя сюда выражение (XIX.27), получаем

где получается из определителя заменой нижней строки строкой

Эта формула справедлива и при если в ней полагать а стало быть

При этом путем простых преобразований формула (XIX.29) превращается в формулу (XIX.22).

Для интегральной оценки произведения двух функций вида (XIX. 14) также справедлива формула

где имеют выражения (XIX. 17).

Если не принимать во внимание различия в обозначениях, то формула (XIX.29) с точностью до простейших алгебраических преобразований совпадает с формулой, приведенной в работах [4 и 12]. Итак, формула (XIX.29) является достаточно общей и в то же время компактной и легкой для запоминания. Что касается формулы для случая приводимой в [5—7, 9], то она, разумеется, в конечном итоге дает тот же результат, что и формула (XIX.29), но имеет более громоздкий вид.

Подводя итоги, можно дать следующие рекомендации. Если изображение интересующей нас координаты имеет вид выражения (XIX. 18), то для интегральной квадратичной оценки переходной погрешности целесообразно применять формулу (XIX.19). Если же изображение координаты х имеет вид

где произвольное число коэффициентов может быть равно нулю, то целесообразно применять формулу (XIX.29).

Следует отметить, что рассматриваемые в этом параграфе формулы позволяют вычислять интегралы более общего вида

где имеет дробно-рациональное преобразование Лапласа типа (XVIII.30) с полюсами — действительные или комплексные попарно сопряженные числа, такие, что все суммы имеют отрицательные действительные части; — полиномы любой степени по

Действительно, если преобразование Лапласа функции есть дробно-рациональная функция типа (XIX.30), то можно применять указанные формулы.

Формулы (XIX.19), (XIX.22), (XIX.29) и излагаемая ниже методика их применения прочно вошли в теорию автоматического регулирования и используются во многих исследованиях.

В последнее время значительные результаты в области алгебры интегральных квадратичных оценок получены в работах [21], [22], в которых исследована связь этих оценок с другими критериями качества, а также рассмотрены условия существования точки экстремума интегральной оценки в пространстве коэффициентов и др.