8. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Как было показано выше, формула (XV.55) применима для вычисления переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях, стремящихся при достаточно больших значениях времени к постоянной величине, которая в частном случае может быть нулем [3]- [6].

Назовем функцию приведенной вещественной частотной характеристикой. Сравнивая формулы (XV.55) и (XV.62) отметим, что функцию можно рассматривать как вещественную частотную характеристику такой фиктивной системы, у которой при по даче на вход сигнала в виде единичной ступенчатой функции на выходе получается искомый переходный процесс. Итак, если

то в случае выражения (XV.46) имеем

а в случае выражения (XV.62) получим

Рассматривая выражение (XV.81), найдем

Первый шаг при вычислении переходного процесса по любой из приведенных выше формул, очевидно, должен заключаться в нахождении функций Эти функции всегда могут быть определены путем отделения вещественной части от мнимой в выражении для передаточной функции замкнутой системы. Однако обычно определение функций в виде аналитических выражений излишне, так как вычисление интеграла (XV.55) в общем виде оказывается нисколько не проще, чем вычисление при помощи общей формулы (XV.5).

Преимущество введения формулы (XV.55) по сравнению с (XV.5), по крайней мере, поскольку дело касается определения вида функции заключается, как это мы увидим, в удобстве ее использования для приближенного нахождения картины переходного процесса графоаналитическим методом, требующим задания лишь графиков функций которые, как это было показано в главе VIII, легко могут быть найдены по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

Итак, рассмотрим метод графического вычисления функции определяемой формулой (XV.55), в предположении, что функция задана в виде кривой.

Идея метода [4, 5] состоит в том, чтобы представить кривую в виде суммы некоторых типовых кривых т. е.

так, чтобы при вычислении выражений вида

можно было бы пользоваться таблицами и таким образом свести определение переходного процесса к суммированию табличных функций

Ниже предполагается, что каждая из функций определяется следующим образом:

т. е. имеет вид прямоугольной трапеции (рис. XV. 1). Функцию определяемую последними соотношениями, условимся называть трапецеидальной частотной характеристикой.

Рис. XV.1. Трапецеидальная частотная характеристика

Всякая кривая может быть представлена в виде совокупности из некоторого числа трапецеидальных частотных характеристик вида (XV.92) следующим образом [4], [5]. Заменим кривую достаточно мало отличающейся от нее кривой состоящей из сопрягающихся друг с другом прямолинейных отрезков, и проведем через каждую из точек сопряжения прямую линию, параллельную оси со. При этом заметим, что в результате указанного приема кривая может быть заменена некоторым числом трапецеидальных характеристик Так, например, кривая на рис. XV.2, а, может быть заменена четырьмя такими характеристиками (см. рис. XV.2,б). Итак,

Подставляя выражение (XV.93) в (XV.55), получим

Из последнего выражения видно, что приближенное вычисление сводится к определению переходных функций соответствующих трапецеидальным частотным характеристикам

Функции могут быть найдены следующим образом.

Рис. XV.2. Разложение вещественной частотной характеристики на трапецеидальные частотные характеристики

Подставляя соотношения (XV.92) в выражение (XV.90), получим

откуда после несложных преобразований, пользуясь обычным обозначением интегрального синуса

получим

Функции определяемые выражением (XV.97), так же как соответствующие им трапецеидальные характеристики (XV.92), зависят от трех параметров: или гдех — величина, называемая коэффициентом наклона:

Для составления таблиц функции введем в рассмотрение единичные трапецеидальные частотные характеристики, для которых

а коэффициент наклона и может быть любым в пределах от 0 до 1. Согласно выражению (XV.97) этим характеристикам соответствуют переходные функции

Функции зависят только от одного параметра к и могут быть представлены в виде таблиц.

В приложении приведены таблицы -функций, вычисленных по формулам (XV.100), для значений . Более полные таблицы -функций имеются в работе [6].

Рис. XV.3. Вещественные частотные характеристики (а) и соответствующие им переходные функции (б)

При помощи этих таблиц можно приближенно определить переходную функцию соответствующую трапецеидальной характеристике с любыми значениями ее параметров: Следовательно, этими же таблицами можно пользоваться для приближенного вычисления переходных процессов по формуле (XV.94).

Для того чтобы пояснить правило пользования таблицами, предварительно необходимо доказать одну теорему, которую можно назвать теоремой подобия, или теоремой изменения масштаба. Пусть

тогда

т. е. при увеличении (уменьшении) масштаба кривой вдоль оси в раз масштаб кривой вдоль оси уменьшается (увеличивается) в то же число раз (рис. XV.3).

Доказательство теоремы весьма просто. Заменяя в выражений (XV. 101) через получим

Произведем в интеграле (XV. 103) замену переменной, положив найдем

откуда, заменяя через , получим формулу (XV. 102).

Рис. XV.4. Трапецеидальные частотные характеристики с различными параметрами и соответствующие им переходные функции

На основании теоремы изменения масштаба можно сделать следующий вывод. Для того чтобы найти переходную функцию соответствующую трапецеидальной характеристике с параметрами

, зная переходную функцию соответствующую единичной трапецеидальной характеристике, с тем же коэффициентом наклона х, необходимо (рис. XV.4) увеличить ординаты функции раз, а значения аргумента приведенные в таблицах, разделить на

Таким образом, мы приходим к следующему правилу приближенного построения переходного процесса по заданному графику функции т. е. по заданной приведенной вещественной частотной характеристике :

1) разлагаем на трапецеидальные частотные характеристики;

2) находим соответствующие им составляющие переходного процесса, пользуясь таблицами -функций при помощи изложенного выше правила;

3) производим алгебраическое сложение ординат кривых, соответствующих составляющим переходного процесса Полученная кривая и будет представлять собой искомую приближенную картину переходного процесса.