2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНОЙ КОМПЛЕКСНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим одноконтурную замкнутую систему (рис. XVIII.8). Характеристическое уравнение этой системы можно записать в виде

где — передаточная функция системы в разомкнутом состоянии.

Корнями замкнутой системы являются те действительные или комплексные значения при которых соблюдаются следующие два условия:

Действительно, аргумент числа стоящего в правой части выражения (XVIII.11), равен 180°, так что при соблюдении условий (XVIII. 12) левая часть уравнения (XVIII.11) равна правой, т. е. это уравнение удовлетворяется значениями

Рис. XVIII.8. Одноконтурная система

Условия (XVIII.12) показывают, что корням замкнутой системы соответствуют такие точки пересечения комплексно-частотной логарифмической амплитудной характеристики разомкнутой системы с осью абсцисс (в этих точках пересечения ), для которых фазовый угол определенный из соответствующей фазовой характеристики, кратен в нечетное число раз значению .

Найдем действительные отрицательные корни замкнутой системы. Для этого вычислим модуль и аргумент функции при всех возможных действительных отрицательных т. е. построим логарифмические амплитудную и фазовую характеристики разомкнутой системы соответствующие изменению вдоль отрицательной части действительной оси. В данном случае точная фазовая характеристика состоит из параллельных оси абсцисс отрезков, отстоящих от оси абсцисс на расстоянии, кратном .

Отметим те точки пересечения точной логарифмической амплитудной характеристики с осью абсцисс, которым соответствует фазовый угол где — нечетное целое положительное или отрицательное число. Корни равны абсциссам этих точек пересечения, взятым со знаком минус (знак минус — вследствие изменения вдоль отрицательной части действительной оси).

Для примера на рис. XVIII.9 (сверху) построены логарифмические амплитудная и фазовая характеристики функции

соответствующие изменению вдоль радиальной прямой т. е. вдоль отрицательной действительной полуоси. Эти характеристики получены как сумма логарифмических характеристик, входящих в функцию (XVIII. 13) звеньев . В данном случае фазовый угол равен 180° а, где — нечетное целое число, лишь в тех интервалах изменения для которых наклон асимптотической логарифмической амплитудной характеристики равен Нетрудно видеть, что при абсцисс изображается в этом случае горизонталью точные значения действительных отрицательных корней замкнутой системы есть — и рис. XVIII.9).

Определим теперь коэффициент усиления передаточной функции (XVIII.13) разомкнутой системы, при котором замкнутая система имеет комплексные сопряженные корни

характеризуемые параметром

Легко доказать, что корни квадратичного трехчлена изображаются в плоскости точками лежащими на радиальных прямых, индекс которых равен относительному коэффициенту демпфирования трехчлена; расстояние точек до начала координат равно недемпфированной частоте трехчлена. Действительно, вычислив по чертежу (рис. XVIII. 10) абсциссу и ординату точки находим

но это выражение, как легко видеть, является корнем рассматриваемого трехчлена.

Имея в виду, что комплексный корень

изображается в точкой, расположенной на радиальной прямой будем искать его, изменяя переменную вдоль радиальной прямой На рис. XVIII.9 (снизу), показаны логарифмические амплитудная и фазовая характеристики функции (XVIII. 13), соответствующие изменению вдоль радиальной прямой

Если точки пересечения фазовой характеристики с прямой — 180° снести на амплитудную характеристику

то можно найти значения коэффициента усиления при которых возникают комплексные сопряженные корни замкнутой системы вида (XVIII. 16). Такими значениями будут значения при которых ось абсцисс пересекает график в точках А, В, С, полученных в результате указанного сноса. Эти положения оси абсцисс отмечены горизонталями Значения коэффициента усиления соответствующие тому или иному положению оси абсцисс (горизонтали ), определяются отрезками вертикали заключенными между горизонталью

Рис. XVII 1.9. Логарифмические характеристики функции соответствующие радиальным прямым — действительные ветви, — комплексные ветви логарифмического корневого годографа

Рис. XVIII.10. Корни квадратичного трехчлена в комплексной плоскости

и точкой пересечения вертикали с низкочастотной асимптотой логарифмической амплитудной характеристикой

Абсциссы точек соответствуют значению параметра входящего в выражение (XVIII. 16) комплексных сопряженных корней, так как вдоль оси абсцисс откладывается величина соЛ (рис. XVIII.1 и XVIII.10).

Аналогичным образом можно найти значения коэффициента усиления при которых возникают комплексные сопряженные корни (XVIII. 14) замкнутой системы с другими значениями параметра .