2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

В качестве применения принципа аргумента докажем прежде всего критерий устойчивости, впервые сформулированный А. В. Михайловым [3].

Предположим, что система имеет характеристическое уравнение вида (XII. 1).

Введем функцию комплексного переменного

и. изменяя вдоль контура С (рис. XII. 3), будем считать число оборотов, которые при этом вектор, изображающий функцию делает вокруг начала координат.

Рис. XII.3. Контур С на плоскости

Будем сначала изменять вдоль полуокружности бесконечно большого радиуса.

Заменяя через

и подставляя выражение (XII. 6) в уравнение (XII. 5), получим

В пределе мы можем пренебречь в выражении (XII. 7) всеми членами, кроме первого, так как т. е. положить, что на полуокружности

Из выражения (XII. 8) видно, что при обходе вдоль модуль остается неизменным, а фаза или аргумент получает приращение, равное Таким образом, как это ясно из выражения (XII. 8), вектор, изображающий функцию повернется в плоскости на угол пп против часовой стрелки, т. е. совершит у полных оборотов против часовой стрелки вокруг начала координат. Но так как согласно критерию устойчивости, сформулированному в конце предыдущего параграфа, полное число оборотов вектора при обходе точкой вдоль и вдоль мнимой оси от до в случае, если система устойчива, должно равняться нулю, то мы приходим к следующему выводу. Для того чтобы система была

устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении вдоль мнимой оси от до число оборотов вектора по часовой стрелке равнялось у, где порядок характеристического уравнения.

Далее, учитывая, что и изменяя не от до 0, а в противоположном направлении, т. е. от до , мы приходим к следующему критерию, впервые сформулированному А. В. Михайловым:

для устойчивости динамической системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении от 0 до кривая, описываемая концом вектора проходила против часовой стрелки через квадрантов, где — порядок характеристического уравнения.

Рис. XII.4. Элементарный вектор

К такому же выводу можно прийти при помощи следующих рассуждений, не требующих знания теории функций комплексного переменного.

Рассмотрим, что будет происходить с вектором при изменении вдоль мнимой оси, т. е. при изменении до Для этого допустим, что все корни уравнения (XII. 1) нам известны. Далее представим функцию в виде

Очевидно, что каждый множитель можно рассматривать как вектор в плоскости комплексного переменного (рис. XI 1.4). Начнем теперь изменять вдоль мнимой оси, придавая ему значения от до , и посмотрим, что будет происходить с каждым из векторов Из рис. XII.5 легко видеть, что если какой-либо корень лежит справа от мнимой оси, то соответствующий ему вектор — повернется на 180° или на почасовой стрелке, а если какой-либо корень лежит слева от мнимой оси, то вектор повернется на 180° или на против часовой стрелки. Отсюда следует, что если все корни расположены в левой полуплоскости, то вектор при изменении от до совершит полных оборотов вокруг начала координат против часовой стрелки, т. е. мы получили требуемый результат.

Рис. XII.5. Изменение аргументов при возрастании от до

На рис. XII. 6 приведены типичные кривые для устойчивых систем, описываемых уравнениями, начиная от первого и до пятого порядка Для удобства сравнения коэффициент во всех случаях принят равным единице.

На рис. XII. 7 приведена кривая соответствующая неустойчивой системе. По виду кривых легко определить число корней с положительной и отрицательной вещественной частью.

Действительно, обозначим через число корней с положительной, а через число корней с отрицательной вещественной частью.

Рис. XI 1.6. Кривые для устойчивых систем

Рис. XII.7. Кривая неустойчивой системы

Тогда полный угол поворота вектора в положительном направлении при изменении от 0 до равен

и, следовательно, число корней с положительной вещественной частью

Иногда может оказаться удобным следующий критерий устойчивости, называемый критерием перемежаемости корней.

Рис. XII.8. Вещественная и мнимая части кривой устойчивой системы

Рис. XI 1.9. Вещественная и мнимая части кривой неустойчивой системы

Пусть

Тогда, очевидно, что кривая при изменении от 0 до обходит квадрантов в положительном направлении и система устойчива, если и уравнения

имеют все действительные и перемежающиеся корни, т. е. если между каждыми двумя соседними корнями уравнения (XII. 12) [или (XII. 13)] лежит корень уравнения (XII. 13) [или (XII. 12)]. Так, например, при случай, графически изображенный на рис. XI 1.8, соответствует устойчивой системе, а на рис. XI 1.9 — неустойчивой системе.