6. НОМОГРАММЫ ЗАМЫКАНИЯ

Номограммы для определения амплитудной и фазовой частотных характеристик по заданным Предположим, что известны амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутой системы. Требуется найти амплитудную и фазовую частотные характеристики замкнутой системы.

Подставляя формулы (VIII.50), (VIII.56) в выражение (VIII. 14) для передаточной функции получим

и, следовательно,

Приравнивая вещественные и мнимые части равенства (VIII.93), после простых преобразований получим

Формулы, с помощью которых можно решить обратную задачу нахождения по заданным могут быть получены из выражения (VI 11.92) аналогичным способом. Они будут иметь следующий вид:

и

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Формулы (VIII.96), (VIII.97) являются исходными для построения номограмм, позволяющих по заданным логарифмическим (или обычным) частотным характеристикам разомкнутой системы находить логарифмические (или обычные) частотные характеристики замкнутой системы Эти же номограммы могут быть использованы для решения обратной задачи.

Номограммы строятся следующим образом. По оси ординат откладывают значения в децибелах, а по оси абсцисс — фазы или значения так называемого избытка фазы

в градусах.

На этой плоскости, прямоугольными координатами которой являются строятся кривые, соответствующие геометрическим местам точек, имеющих заданные постоянные значения А при переменном и заданные постоянные значения при переменном А.

Номограммы для определения амплитудной и фазовой частотных характеристик по амплитудной и фазовой частотным характеристикам изображены на рис. VIII. 12, а, рис. VIII. 12, б (см. вклейку); значения модуля А вдбданы без скобок, а в относительных единицах — в скобках. Значения А и для которых построены кривые, составляющие номограмму, отмечены на рис. VIII. 12 соответствующими цифрами, называемыми индексами.

Номограммой пользуются следующим образом.

Построим в координатах логарифм модуля — фаза, в которых построена номограмма, кривую представляющую зависимость от для исследуемой системы, рассматривая угловую частоту как параметр и отмечая значения со вдоль кривой

Если кривая пересекает одну из кривых номограммы, имеющую индекс при некотором значении то отсюда следует, что при этом значении логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет значение, равное Точно так же, если при кривая пересекает одну из кривых номограммы, имеющую индекс то из этого следует, что при фазовая частотная характеристика имеет значение, равное

Таким образом, логарифмические характеристики могут быть построены, если вдоль оси частот откладывать значения , соответствующие точкам пересечения кривой с кривыми, из которых состоит номограмма, а вдоль оси ординат — значения индексов для указанных точек пересечения. Предположим, например, что логарифмические характеристики для передаточной функции имеют вид, графически изображенный на рис. VIII. 13.

Кривая соответствующая этим характеристикам, изображена на рис. VIII. 14, а логарифмическая характеристика на рис. VIII.15.

Заметим, что номограммами, показанными на рис. VIII. обычно следует пользоваться лишь при значениях лежащих в пределах так как с точностью до

1 дб имеем при

Номограммы для определения по заданным Ниже дается способ построения диаграммы, позволяющей находить функции по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы

Рис. VIII. 13. Логарифмические частотные характеристики

Рис. VIII. 14. Кривая соответствующая кривым изображенным на рис. VIII.13

Рис. VIII. 15. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика соответствующая характеристикам изображенным на рис. VIII. 13

Подставляя выражение (VIII.56) в (VIII.61), получим

Отделяя в правой части выражения (VIII.99) вещественную часть от мнимой будем иметь

Геометрическое место точек

дается уравнением

или

Точно так же геометрическое место точек

дается уравнением

Пользуясь формулами (VIII. 102) и (VIII. 103), можно построить искомые диаграммы следующим образом [10].

Условимся откладывать по оси ординат значения а по оси абсцисс — значения Тогда, задаваясь, например, фиксированным значением а также различными значениями можно вычислить, пользуясь уравнениями (VIII. 102) и (VIII. 103), величину в соответствующих точках прямой, параллельной оси абсцисс. Повторив такого рода вычисления для ряда значений и соединив точки, соответствующие одним и тем же значениям индексов плавными кривыми, получим искомые сетки кривых (рис. VIII.16 и рис. VIII. 17), позволяющих найти вещественную и мнимую частотные характеристики замкнутой системы по ее логарифмической и фазовой частотным характеристикам в разомкнутом состоянии.

Общее представление о структуре диаграммы для определения можно получить, задавшись в выражении (VIII. 102) некоторыми значениями

Если то для всех ; если то

Наконец, если

то

Легко видеть, что при замене И в равенствах (VIII .104) и (VIII. 105) через и С через —С их вид остается неизменным.

Отсюда следует, что если вдоль оси абсцисс откладывать значения а вдоль оси ординат — значения то геометрические места точек на плоскости соответствующие различным значениям будут симметричны относительно линии, соответствующей

Рис. VII 1.16. Номограмма замыкания для вещественной частотной характеристики

Об использовании номограмм в более общих случаях. Выше был изложен способ определения частотных характеристик замкнутой системы по частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии, в основе которого лежит формула (VII 1.14) или (VIII.61), устанавливающая связь между передаточными функциями системы в замкнутом и разомкнутом состоянии.

Необходимо, однако, напомнить, что формула (VIII. 14) справедлива лишь в том случае, когда в качестве передаточной функции замкнутой системы рассматривается отношение преобразования Лапласа для отклонения регулируемой величины к преобразованию Лапласа для управляющего воздействия, обозначаемое нами через

Рис. VIII.17. Номограмма замыкания для мнимой частотной характеристики

Последнее, как мы знаем, характеризуется тем, что оно прикладывается к элементу сравнения системы автоматического регулирования. В более же общем случае, когда представляет интерес эффект возмущающего воздействия которое может быть приложено к любой точке системы, связь между передаточными функциями замкнутой и разомкнутой системы выражается уже не формулой (VIII. 14), а выражением (VIII. 15), принимающим при следующий вид:

Однако и в этом случае описанные выше диаграммы оказываются полезными. Предположим, например, что необходимо найти графики вещественной и мнимой частотных характеристик

замкнутой системы, определяемых выражением (VIII.51). Представим функцию в виде произведения двух множителей:

На основании выражения (VIII. 106) можно написать

и, следовательно,

и

Из формул (VIII. 108), (VIII. 109) вытекает следующее правило построения логарифмических (или обычных) частотных характеристик, соответствующих передаточной функции по заданным передаточным функциям

1) при помощи номограммы (рис. VIII. 12) определяются характеристики

2) ординаты найденных характеристик и заданных характеристик

суммируются.

Располагая амплитудной и фазовой характеристиками, вещественную и мнимую частотные характеристики можно найти по формулам

Можно также воспользоваться номограммами, показанными на рис. VIII. 16 и VIII. 17, для определения вещественной и мнимой части выражения

и затем найти искомые частотные характеристики при помощи формул

и

Заметим, что преобразования Лапласа для ошибки

для свободных колебаний при ненулевых начальных условиях

и для отклонения регулируемой величины, вызываемого возмущающим воздействием,

имеют такой же вид, как и формула (VIII. 15) или (VIII. 106). Поэтому способы определения частотных характеристик, соответствующих выражению (VIII. 106), остаются справедливыми и для обобщенных частотных характеристик, соответствующих всем трем последним формулам.

Амплитудная и фазовая частотные характеристики, соответствующие формуле (VIII.106), могут быть найдены при помощи номограммы на рис. VIII. 12 следующим образом.