3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА

Рассмотрим передаточную функцию замкнутой системы [5]

где — целые полиномы от соответственно со степенями порядков с действительными коэффициентами.

Приравняв нулю числитель передаточной функции, получим уравнение, определяющее нули:

а приравняв нулю знаменатель, получим характеристическое уравнение

Условимся называть последнее уравнение уравнением системы класса

В рассматриваемых системах характеристические уравнения (XVII. 10) зависят от одного действительного свободного параметра, линейно входящего в некоторые его коэффициенты. Поэтому выражение (XVI 1.10) определяет целое семейство уравнений, зависящее от одного свободного параметра К. При непрерывном изменении непрерывно изменяются корни этого уравнения, а вместе с тем и устойчивость и передаточные свойства системы.

При корни характеристического уравнения совпадают с корнями уравнения

Обозначим эти корни буквами

и назовем их начальными точками траекторий корней.

При корни характеристического уравнения совпадают с корнями уравнения

Обозначим эти корни буквами

и назовем их предельными точками траекторий корней.

Если обратная связь жесткая и свободным параметром является коэффициент усиления системы, то все начальные точки совпадают с полюсами, а предельные — с нулями передаточной функции разомкнутой системы. В более общем случае гибких обратных связей или многоконтурных систем эти условия нарушаются.

Совокупность начальных и предельных точек системы класса будем далее называть основными точками траекторий корней, так как они однозначно определяют все геометрическое место корней уравнения (XVII. 10) при изменении свободного параметра в пределах —

Уравнения нулей, полюсов и основных точек всегда являются алгебраическими уравнениями с действительными коэффициентами, все корни которых могут быть только действительными или комплексно-сопряженными. Поэтому на плоскости комплексного переменного все нули, полюса и основные точки расположены симметрично относительно действительной оси.

Так как знак свободного параметра определяется структурой системы, то практически рационально рассматривать порознь геометрические места корней при положительных и отрицательных значениях параметра. Условимся первое геометрическое место корней называть положительным, а второе — отрицательным годографом семейства корней системы (XVII. 10). Так как при непрерывном изменении свободного параметра уравнения (XVII. 10) корни его изменяются также непрерывно, то как положительный, так и отрицательный годограф системы порядка состоит из непрерывных траекторий, каждая из которых описывается одним из корней уравнения (XVII. 10) при изменении параметра соответственно от нуля

Общие свойства геометрического места корней семейства уравнений, линейно зависящего от одного параметра. Если исследуемая линейная система состоит из детерминированных типовых звеньев первого и второго порядков (апериодических и колебательных), то основные точки ее характеристического уравнения нам заданы. В противном случае они могут быть найдены из уравнений (XVI 1.11) и (XVII. 13). Зная основные точки, мы можем записать исходное уравнение (XVI 1.10) в следующем виде:

При значении свободного параметра, равном нулю все корни этого уравнения совпадают с начальными точками При имеем, что корней выражения (XVII. 15) совпадает с предельными точками, а остальные корней равны бесконечности.

При непрерывном изменении свободного параметра исходного уравнения (XVII. 10) или (XVI 1.15) от до из

каждой из начальных точек выходит корень, описывающий на плоскости комплексного переменного ко непрерывную траекторию. Из этих траекторий заканчиваются в предельных точках а остальные уходят в бесконечность. Все этих траекторий образуют положительный годограф системы.

Аналогично, при непрерывном уменьшении К от нуля до из тех же начальных точек выходят новых корней, двигающихся по новым траекториям, из которых оканчиваются в предельных точках, в бесконечности. Эти траектории образуют отрицательный годограф системы.

Из уравнения (XVI 1.15) следует, что форма кривой геометрического места корней не зависит от выбора нулевого значения для отсчета параметра К и от положения мнимой оси относительно геометрического места корней. Основываясь на этом свойстве покажем следующее.

1. Любую группу корней характеристического уравнения (XVI 1.10) при фиксированном значении свободного параметра можно принять за начальные точки траекторий корней. Предельные точки при этом не изменяются. Действительно, прибавим и вычтем из уравнения (XVII.10) два равных полинома В этом случае можем записать

или

По определению, начальными точками траекторий корней последнего уравнения являются корни уравнения (XVI 1.10) при . Предельные же точки уравнений (XVII. 10) и (XVII. 16) совпадают. Это позволяет в случае, когда полиномы содержат свободные члены, упростить характеристическое уравнение (XVII.10), приведя его к виду

в котором одна из начальных точек равна нулю.

2. Конфигурация геометрического места корней семейства характеристических уравнений (XVII. 10) не зависит от положения мнимой оси.

Из уравнения (XVI 1.15) видно, что конфигурация траекторий на плоскости комплексного переменного определяется лишь расстояниями точек траекторий корней от основных точек. Разности, очевидно, не зависят от положения начала координат и мнимой оси. Так как перемещение мнимой оси на произвольную действительную величину а изменяет лишь абсциссы основных точек, то любое уравнение семейства

определяет то же геометрическое место корней, что и уравнение (XVII. 15). Это свойство независимости кривой геометрического места корней от смещения мнимой оси позволяет выбрать для построения траекторий наиболее удобное для исследования уравнение.

Вывод основного фазового уравнения геометрического места корней [21, 31]. Возьмем характеристическое уравнение в виде (XVII. 15), явно содержащем основные точки, и, подставив в него значение любой точки геометрического места корней получим тождество

Представим входящие сюда разности через их модули и фазы в виде

и подставим их в выражение (XVI 1.19), тогда получим

Так как параметр К принимает лишь действительные значения, то и правая часть тождества (XVI 1.20) должна быть действительным числом. Это будет иметь место, если фазы и удовлетворяют условию

Таким образом, только те точки комплексной плоскости являются корнями уравнения (XVII. 15) и принадлежат геометрическому месту корней, для которых выполняется соотношение (XVII.21). Последнее и является искомым основным фазовым уравнением всего геометрического места корней семейства уравнений (XVII. 15).

Уравнение (XVII.21) имеет простой геометрический смысл: только те точки комплексной плоскости лежат на траекториях корней уравнения (XVII. 15), для которых сумма углов образованных комплексными векторами проведенными из начальных точек в исследуемую точку с положительным направлением действительной оси, минус сумма углов образованных аналогичными векторами проведенными из предельных точек, равна нулю или целому кратному (рис. XVII. 1).

Подставив уравнение (XVII.21) в выражение (XVII.20), получим

Эта формула определяет значение параметра, соответствующее корню и показывает, что положительные значения свободного параметра соответствуют нечетным а отрицательные — четным.

Таким образом, положительный годограф состоит из нечетных траекторий, для которых в основном фазовом уравнении принимает нечетные целые значения, а отрицательный — из четных траекторий, вдоль которых четно. Ввиду этого будем далее называть годограф корней при четным (отрицательным), а годограф корней при — нечетным (положительным) годографом системы. На основании этого равенство (XVI 1.22) может быть записано в виде

Рис. XVII.1. Определение точки корневого годографа по основным точкам

Равенство (XVI так же как формула (XVI 1.21), имеет простой геометрический смысл. Оно показывает, что значение свободного параметра К в любой точке траектории корней равно произведению длин векторов, соединяющих все начальные точки с корнем деленному на произведение длин векторов, соединяющих предельных точек с этим корнем. Знак К положителен, если лежит на нечетной, и отрицателен, если 5 лежит на четной траектории корней. Это графическое пояснение равенства (XVI 1.23) весьма удобно для вычисления значения параметра, соответствующего данной точке траектории. Условимся ниже называть равенство (XVI 1.23) формулой параметра.

Применение основного фазового уравнения траекторий для разбиения действительной оси плоскости комплексного переменного на траектории корней. Из уравнения (XVII.21) вытекает ряд следствий, имеющих большое значение для построения траекторий корней.

1. Любая точка действительной оси принадлежит геометрическому месту корней. Действительно, любая основная точка дает в точке лежащей на действительной оси справа от нее, угол равный нулю, а слева — угол . Любая же пара комплексно-сопряженных основных точек дает

в любой точке лежащей на действительной оси, сумму углов, равную нулю. Благодаря этому при применении основного фазового уравнения (XVI 1.21) к точкам действительной оси достаточно учитывать только влияние действительных начальных и предельных точек (рис. XVI 1.2). Вправо от первой основной точки кг лежит нулевая траектория; между траектория Таким образом, вся действительная ось разбита основными точками на пять траекторий: две четные и три нечетные.

Одинарными стрелками из рис. XVI 1.2 обозначено направление движения корней при К увеличивающемся, а двойными — при К уменьшающемся от нуля. Из рис. XVI 1.2 видно, что при К 0 два корня, двигающихся навстречу друг другу, встречаются в некоторой точке образуя двукратный корень, из которого при дальнейшем увеличении К возникает пара комплексно-сопряженных корней.

Рис. XVII.2. Разбиение действительной оси основными точками на траектории (две четных и три нечетных)

2. Кратными могут быть лишь точки, удовлетворяющие как исходному уравнению (XVII. 10), так и его производной. Исключив из этой системы свободный параметр, мы получим уравнение возможных кратных точек траекторий корней:

Конечно, только те корни уравнения (XVI 1.24) будут кратными точками геометрического места корней, которые лежат на образующих его траекториях. Поэтому кратными будут лишь точки комплексной плоскости, удовлетворяющие одновременно как уравнению (XVI 1.24), так и основному фазовому уравнению траекторий (XVII.21).

Все точки действительной оси лежат на траекториях корней, поэтому все действительные корни уравнения (XVI 1.24) всегда являются кратными точками геометрического места корней.

Поведение траекторий корней вблизи кратных точек. Для выяснения поведения траекторий вблизи кратных основных точек рассмотрим характеристическое уравнение вида

При это уравнение имеет -кратную начальную точку в начале координат и не имеет предельных точек. Согласно основному фазовому уравнению (XVI 1.21) траекториями будут прямые, выходящие из этой начальной точки под углами к действительной оси:

Таким образом, из -кратиой действительной начальной точки выходят четных и нечетных чередующихся траекторий, образующих правильную -лучевую звезду (рис. XVI 1.3). Аналогично ведут себя траектории, входящие в кратную предельную точку. Наличие остальных основных точек приводит к повороту звезды траекторий на угол а, определяемый вытекающими из основного фазового уравнения равенствами: для начальной (х-кратной точки

для предельной -кратной точки

где — целое число.

Если кратные точки не являются основными, то вид звезды траекторий сохраняется, но чередование четных и нечетных траекторий не имеет места (см., например, рис. XVI 1.4, а, б).

Асимптотические свойства траекторий. Как мы видели, в системах класса при изменении свободного параметра в пределах корней уходят в бесконечность.

Рис. XVI 1.3. Траектории корней для 4-х кратной действительной начальной точки

Рис. XVII.4. Траектории корней: а — для системы [5; 1]; б — для системы [4; 2]

Покажем, что описываемые этими корнями траектории на большом расстоянии от основных (начальных и предельных) точек почти прямолинейны и асимптотически приближаются к лучам правильной звезды, имеющей траектории корней двухчленного уравнения

Параметр а этого уравнения связан с основными точками системы (XVI 1.10) соотношением

Приведем доказательство этого положения, пользуясь гидродинамической аналогией. При этом любая пара, образованная совпадающими полюсом и нулем, компенсирует друг друга (анигилирует) подобно единичному источнику и стоку. При рассмотрении движения из бесконечности все конечные основные точки представляются совпадающими и эквивалентными -кратному источнику, расположенному в «центре тяжести» единичных источников и стоков. Такое рассмотрение непосредственно приводит к формуле (XVII.30) и уравнению (XVII.29), имеющему прямолинейных траекторий, уходящих в бесконечность.

Из сказанного выше имеем следующие асимптотические свойства траекторий корней. При неограниченном увеличении по абсолютной величине свободного параметра уравнения (XVII. 15) его корней уходят в бесконечность по траекториям, асимптотически приближающимся к лучам звезды, состоящей из чередующихся четных и нечетных прямолинейных асимптот, расходящихся из центра асимптот а, определяемого соотношением (XVI 1.30), под углами

Если исходное характеристическое уравнение (XVII. 10) задано в развернутом виде

то центр асимптот определяется формулой

Геометрический метод построения траектории корней. Рассмотренные выше свойства траекторий корней позволяют сравнительно просто строить качественную картину геометрического места корней. Пусть нам задано семейство характеристических уравнений, явно содержащих основные точки [уравнение (XVII. 15)].

Последнее условие не налагает существенных ограничений, так как в большинстве случаев исследуемая система состоит из детерминированных типовых звеньев, полюсы и нули которых известны.

Построение геометрического места корней проводим в следующем порядке:

1) начальные и предельные точки нанесем на плоскости комплексного переменного и разобьем действительную ось на четные и нечетные траектории. При этом качественно определяется часть действительных двойных точек и направление выхода и входа в них комплексно-сопряженных траекторий;

2) там же нанесем центр асимптот а в соответствии с соотношением (XVI 1.30), через который проведем асимптот под углами к действительной оси, определяемыми по формуле (XVII.31);

3) воспользовавшись основным фазовым уравнением (XVI 1.21), определим направления выхода и входа траекторий в простые и кратные основные точки и нанесем эти направления на график геометрического места корней.

Эти данные достаточны для качественного построения геометрического места корней, определяемых характеристическим уравнением невысокого порядка. Уточнить построенные траектории для ряда точек можно с помощью транспортира и линейки.

Для графического построения точек траекторий по основному фазовому уравнению Эвансом [7], [32] разработана специальная линейка. Она позволяет быстро подсчитывать сумму углов и значение параметра К для произвольной точки комплексной плоскости. Применив ее к точкам пересечения траекторий корней с мнимой осью или для ряда выбранных прямых, параллельных мнимой оси, можно быстро уточнить форму траектории. Эти траектории могут быть также построены аналитическим методом, описанным ниже. После уточнения вида траекторий корней, на основании формулы (XVI 1.23), вычисляем значения свободного параметра К для интересующих нас точек траектории

В качестве примера рассмотрим систему класса [5; 1], характеристическое уравнение которой имеет вид

На плоскости нанесены основные начальные и предельные точки системы (рис. XVI 1.4а). Действительная ось разбивается на три четные (двойные стрелки) и две нечетные (одинарные стрелки) траектории. При этом, примерно, положение двойного корня соответствует Центр асимптот в соответствии с формулой (XVII.30) помещается на действительной оси в точке Так как то асимптоты соответствуют системе четвертого порядка. Проводим их под углом 45° друг к другу, после чего произведем разметку стрелками четных и нечетных асимптот (рис. XVII.4a).

Далее с помощью основного фазового уравнения определяем направление выхода траекторий из пары комплексно-сопряженных точек. Воспользовавшись построенным таким образом скелетом траекторий, качественно проводим комплексно-сопряженные четные и нечетные траектории системы. При этом качественно намечается положение пары комплексно-сопряженных критических частот.