6. ОБОБЩЕНИЕ ЧАСТОТНОГО КРИТЕРИЯ НА СЛУЧАЙ, КОГДА РАЗОМКНУТАЯ СИСТЕМА НЕУСТОЙЧИВА

В некоторых случаях при размыкании системы последняя теряет устойчивость. Особенно часто это может иметь место в многоконтурных системах. Тогда функция

имеет в правой полуплоскости не только нули, но и полюса. Предположим далее, что число полюсов функции находящихся в правой полуплоскости, равно Р. В этом случае равенство нулю полного числа оборотов 2 вектора вокруг начала координат или вектора вокруг точки при изменении от до указывает на то, что функция имеет в правой полуплоскости столько же нулей сколько и полюсов Р, так как

и что, следовательно, замкнутая система неустойчива.

Таким образом, частотный критерий устойчивости в его обычной формулировке оказывается неприменимым, так как то, что в данном случае является признаком неустойчивости, представляло собой ранее необходимые и достаточные условия для устойчивости. Определим, в чем же заключаются теперь эти условия. Очевидно, что если функция имеет Р полюсов и не имеет нулей в правой полуплоскости, то вектор совершит —Р оборотов вокруг начала координат (против часовой стрелки) при изменении от до а вектор обойдет при этом вокруг точки в положительном направлении Р раз. Если же число оборотов вектора вокруг начала координат или вектора относительно точки при этом равно (последняя величина положительна, если вектор вращается против часовой стрелки, и наоборот, причем

, то замкнутая система неустойчива и ее характеристическое уравнение содержит корни с вещественной положительной частью.

Итак, условия, необходимые и достаточные для устойчивости замкнутой системы, если известно, что незамкнутая или первоначальная система неустойчива и ее характеристическое уравнение имеет Р корней с положительной вещественной частью, заключаются в том, чтобы характеристический вектор совершал Р оборотов в отрицательном направлении вокруг точки с координатами при изменении от до (первая формулировка критерия устойчивости). Рассмотрим примеры применения этого критерия. Предположим, что передаточная функция которой соответствует амплитуднофазовая характеристика (рис. XII, 16), имеет один полюс в правой полуплоскости, т. е.

Рис. XII.16. Амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая передаточной функции

Рис. XI 1.17. Амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая передаточной функции

При изменении от до вектор (рис. XII. 16) делает один оборот в положительном направлении вокруг точки

Поэтому число нулей функции находящихся в правой полуплоскости, равно

Следовательно, замкнутая система неустойчива.

Рассмотрим теперь амплитудно-фазовую характеристику, приведенную на рис. XII. 17. Предположим, что Но Следовательно, поэтому замкнутая система устойчива.

Для практического применения удобнее использовать несколько иную формулировку критериев устойчивости, которая позволяет избежать непосредственного подсчета числа оборотов или изменения аргумента Действительно, очевидно, что изменение аргумента при возрастании от 0 до равно нулю,

если число переходов через отрезок действительной оси из верхней полуплоскости в нижнюю и из нижней полуплоскости в верхнюю равно между собой. Это изменение аргумента равно если разность между ними равна

Называя переход (при возрастании ) через отрезок действительной оси из верхней полуплоскости в нижнюю положительным, а из нижней полуплоскости в верхнюю — отрицательным, установленные выше критерии устойчивости можно сформулировать следующим образом. Система автоматического регулирования будет устойчивой, если разность между положительными и отрицательными переходами амплитудно-фазовой характеристикой отрезка действительной оси равна где Р — число корней с положительной действительной частью характеристического уравнения разомкнутой системы (вторая формулировка критерия устойчивости).

Рис. XII.18. Иллюстрация ко второй формулировке критерия устойчивости

В частном случае при что соответствует устойчивой или нейтральной разомкнутой системе, приходим к выводу, что замкнутая система устойчива, если разность между положительными и отрицательными переходами амплитудно-фазовой характеристики отрезка действительной оси равна нулю.

Применение критерия в такой формулировке крайне просто. В точках перехода амплитудно-фазовой характеристикой отрезка действительной оси нужно проставить стрелки, направленные в сторону возрастания , и подсчитать разность между числом стрелок, направленных вверх и вниз. Так, например, для амплитудно-фазовой характеристики, изображенной на рис. XII. 18, имеем и если разомкнутая система неустойчива и то замкнутая система будет устойчивой.