3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА И ГУРВИЦА

Как было показано выше, из основного соотношения, определяющего устойчивость системы регулирования, следует, что корни уравнений и должны быть вещественными и должны чередоваться и что значения и должны быть положительными. Условия, при которых это имеет место, можно найти не в виде кривой, как это дает критерий Михайлова, а в аналитической форме, выразив их через коэффициенты характеристического уравнения. Такие критерии устойчивости были предложены

Э. Раусом и А. Гурвицем.

Наметим путь получения этих критериев. Предполагая, что степень характеристического уравнения четная, запишем действительную и мнимую части в виде

Так как — четное, то степень действительной части больше на единицу степени мнимой части. Далее обозначим и

Разделив и на и изменив знак у остатка получим

где — некоторый многочлен.

Аналогично можно получить

Продолжая этот процесс до тех пор, пока «разделится на нацело, получим

Ряд обычно называют обобщенным рядом Штурма. Можно показать [3], что если степени многочленов этого ряда отличаются

на единицу и старшие коэффициенты имеют чередующиеся знаки, то и имеют все вещественные и чередующиеся корни, т. е. приращение аргумента функции определяется выражением:

что эквивалентно устойчивости системы.

Произведя указанное деление, получаем

где

Коэффициент определяется общей формулой

или

где

Вычисление этих коэффициентов может быть очень просто осуществлено без фактического выполнения деления, если воспользоваться схемой вычисления, предложенной Раусом в виде табл. XII.1.

В первой и второй строках табл. XII. 1 выписываются коэффициенты уравнения соответственно: Коэффициенты в остальных строках вычисляются по следующему правилу, которое следует из выражений для

Для того чтобы найти коэффициент ряда таблицы нужно из коэффициента строки вычесть произведение I на коэффициент строки Множитель есть отношение первого коэффициента строки к первому коэффициенту строки постоянный для каждой строки.

На основании свойств ряда Штурма, о котором мы упомянули выше, критерий устойчивости Рауса можно сформулировать следующим образом.

Таблица ХII.1 (см. скан)

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первой графы таблицы Рауса были положительными, т. е. (коэф-фициенты вычисляются при помощи приведенной выше таблицы).

Критерий Рауса особенно удобен в тех случаях, когда коэффициенты характеристического уравнения заданы численно. В этом случае вычисление коэффициентов таблицы следует производить, начиная с третьей строки, в порядке возрастания их номеров. Любую строку можно умножать и делить на любое положительное число.

Пусть задано, например, характеристическое уравнение

Составим таблицу коэффициентов Рауса (табл. XI 1.2).

Так как все коэффициенты первой графы положительны, то все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части, и соответствующая система устойчива.

Другая форма критерия устойчивости, наиболее распространенная в технической литературе, известна под названием критерия Гурвица, который легко получить из критерия Рауса. Для этой цели выразим коэффициенты в виде определителей:

Таблица XII.2 (см. скан)

и в общем случае

где — определители Гурвица, получаемые с помощью следующей формы записи:

отчеркиванием строк и граф, причем все коэффициенты с отрицательными индексами заменяются нулями. Определитель (XII. 18) составляется по простому правилу. По диагонали выписываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с Строки определителя, начиная с диагонали, заполняют коэффициентами вправо по возрастающим, а влево — по убывающим индексам.

Согласно критерию Рауса необходимым и достаточным условием устойчивости является

Этим неравенством, как следует из соотношения (XII. 17), эквивалентны неравенства вида

Таким образом, критерий Гурвица можно сформулировать следующим образом: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство а определители Гурвица были положительными.

Для уравнений высоких степеней порядок определителей возрастает, и практическое вычисление их обычным путем становится крайне громоздким.

Иные способы вычисления определителей Гурвица, например, сведением предпоследнего определителя к диагональной форме, по существу приводят к схеме вычисления Рауса. Таким образом, критерий Рауса дает весьма простой способ исследования устойчивости систем в тех случаях, когда степень характеристического уравнения высока (например, и коэффициенты его заданы численно.

Следует иметь в виду необходимые (но не достаточные) условия устойчивости, заключающиеся в том, что в случае уравнения порядка все коэффициенты должны быть положительны и ни один из них не должен равняться нулю.

Для систем, характеристические уравнения которых имеют низкую степень условия устойчивости можно записать в общей форме в виде простых буквенных неравенств.

Приведем условия устойчивости для систем с характеристическими уравнениями второй, третьей и четвертой степеней; эти условия вытекают из критерия Рауса или Гурвица:

Для условием устойчивости является лишь положительность коэффициентов характеристического уравнения.

Для положительность коэффициентов характеристического уравнения недостаточна. Кроме этого, коэффициенты должны удовлетворять дополнительным неравенствам. При число подобных дополнительных неравенств возрастает.

Из структуры построения следует, что

Если приравнять нулю, то мы получим уравнения границ устойчивости

Первая граница соответствует наличию у характеристического уравнения нулевого корня Вторая граница соответствует наличию у характеристического уравнения чисто мнимых корней Уравнения (XII. 22) разбивают пространство параметров на ряд областей. Область, в которой выполняются все остальные неравенства 0 или соответствует устойчивости, все остальные области соответствуют неустойчивости.

Если система находится на границе устойчивости, так что то граничная частота может быть найдена по формуле

где — коэффициент, определяемый из табл. XII. 1 Рауса.