5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
В соответствии с общим определением частотные характеристики линейной стационарной системы могут быть найдены из выражения (VI 1.20) для передаточной функции
если в нем положить
Заменяя в выражении (VI 1.20)
на
, найдем
Отделяя в числителе и знаменателе выражения (VI 1.32) вещественную часть от мнимой, можно написать
где
Выражение (VII.33) для
можно также представить в следующем виде:
Но согласно общему определению частотных характеристик
а, следовательно, формулы, позволяющие найти частотные характеристики по известной передаточной функции
при
имеют вид
Частотные характеристики имеют простую физическую интерпретацию и могут быть определены экспериментально из анализа вынужденных колебаний, вызываемых в системе гармоническим возмущающим воздействием.
Действительно, найдем частное решение уравнения (VII. 10) для того случая, когда воздействие
представляет собой гармоническую функцию времени, т. е. может быть представлено в виде линейной комбинации функции
или в виде
где
— амплитуда;
— угловая частота;
- фаза.
Если предположить, что
то
Гармоническое воздействие вида (VI 1.37) может рассматриваться как сумма двух экспоненциальных воздействий, т. е. вместо выражения (VI 1.37) можно написать
Заметим, что рассмотрение экспоненциальных воздействий весьма удобно с математической точки зрения в силу того, что как производная, так и интеграл от экспоненциальной функции представляют собой по-прежнему экспоненциальную функцию.
Найдем эффект, создаваемый каждым из экспоненциальных воздействий в отдельности. Положив
будем искать частное решение уравнения (VII. 10) в виде
Подставляя выражения (VI 1.39) и (VI 1.40) в (VI 1.10), получим
и, следовательно,
Подставляя выражение (VI 1.35) в формулу (VI 1.40). получим
Точно так же, если положить в уравнении (VI 1.10)
то для вынужденных колебаний
найдем
или
Итак, если
является функцией вида (VII.37), то
Выражение (VII.45) показывает, что вынужденные колебания, вызываемые в линейной динамической системе гармоническим воздействием, представляют собой также гармоническую функцию времени, имеющую ту же угловую частоту со, что и воздействие, но отличающуюся от последнего по амплитуде и по фазе. При этом, как ясно из формулы (VI 1.45), относительная амплитуда и фаза вынужденных колебаний определяются соответственно амплитудной
и фазовой
частотными характеристиками.
Способ экспериментального определения этих характеристик ясен из формулы (VI 1.45) и заключается в следующем. Приложим к системе гармоническое воздействие, имеющее угловую частоту
. В результате в системе возникнут переходный процесс и вынужденные колебания с частотой со. Через некоторое время, достаточное для затухания переходного процесса, — а такое затухание всегда произойдет, если только система устойчива, — останутся лишь
вынужденные колебания. Последние будут иметь частоту
, равную частоте воздействия.
Предположим, что мы располагаем измерительной аппаратурой, позволяющей находить частоту
приложенного воздействия, его амплитуду
амплитуду колебаний интересующей нас переменной х и сдвиг фазы между ними.
Произведем ряд таких измерений, постепенно повышая частоту воздействия от
до такого значения
при котором амплитуда колебаний переменной х сделается настолько малой, что окажется уже вне предела точности нашей измерительной аппаратуры.
Кривые отношения амплитуды переменной х к амплитуде воздействия
и сдвига фазы между ними в зависимости от частоты, найденные изложенным способом, и будут представлять собой соответственно амплитудную и фазовую частотные характеристики системы.
Если характеристики
найдены, то характеристики
могут быть определены из соотношений
вытекающих из выражений (VII.35), (VII.36). Из этих выражений также следует, что