ГЛАВА VIII. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ, ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

В предыдущей главе было дано общее определение передаточной и импульсной переходной функции, а также частотных характеристик и было показано, какой смысл имеют эти понятия для различных типов динамических элементов.

В настоящей главе подробно рассмотрены передаточные функции, частотные характеристики, а также интегральные уравнения систем автоматического регулирования, состоящих только из одного типа динамических элементов, а именно: непрерывных линейных динамических элементов. Показано, что одномерная система автоматического регулирования обычно полностью может быть охарактеризована при помощи задания только двух передаточных функций системы в разомкнутом состоянии. Значительное внимание уделено свойствам передаточных функций статических и астатических систем регулирования.

Рассмотрены различные типы частотных характеристик систем регулирования и даны аналитические и графические способы (круговые диаграммы, номограммы замыкания) для нахождения частотных характеристик замкнутой системы по заданным частотным характеристикам разомкнутой системы (и обратно).

Приведены условия однозначной связи между частотными характеристиками, а также выяснен смысл понятия: минимально-фа-зовой системы; даны способы определения передаточной функции по аналитическому выражению амплитудной частотной характеристики и фазовой характеристики — по той же характеристике, заданной графически; приведены интегральные соотношения и интегральные уравнения, являющиеся аналогами в области вещественного переменного для выражений, определяющих преобразования Лапласа регулируемой величины и ошибки в области комплексного переменного рассмотрены передаточные переходные функции и частотные характеристики типовых звеньев.

1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим общие дифференциальные уравнения линейной системы автоматического регулирования, приведенной на рис. VIII. 1 (см. гл. IV) [3] — [5]. Эти уравнения имеют вид: объекта регулирования

регулятора

ошибки

Рис. VIII. 1. Линейная система автоматического регулирования

Применяя к уравнениям преобразование Лапласа и вводя обозначения

и т. д. и учитывая начальные условия, получим

Исключая из уравнений (VIII.5) функции найдем

где

Исключая из уравнений (VIII.5) функции , будем иметь

Разделив все члены выражений (VIII.6) и (VIII.7) на и введя обозначения

получим

и

Очевидно, что первое слагаемое в правой части выражений (VIII.10), а также (VIII. 11) характеризует эффект управляющего воздействия второе слагаемое в правых частях этих выражений — эффект возмущающего воздействия а третье слагаемое — эффект начальных условий.

Формулы (VIII. 10) и (VIII. 11), предположив случай нулевых начальных условий, можно также переписать в следующем виде:

где

Остановимся теперь на интерпретации смысла функций

Положив возмущающее воздействие равным нулю, получим согласно уравнению (VIII. 12)

откуда

Таким образом, как это следует из приведенного в предыдущей главе определения, функция является передаточной функцией системы автоматического регулирования по отношению к управляющему воздействию

Точно так же, положив управляющее воздействие равным нулю, найдем

откуда

Следовательно, функция представляет собой передаточную функцию системы автоматического регулирования по отношению к возмущающему воздействию

Функцию которая при определяется, как это видно из уравнения (VIII. 13), отношением

мы условимся называть передаточной функцией ошибки.

Перейдем теперь к рассмотрению функции Как уже указывалось, всякая система автоматического регулирования является замкнутой динамической системой, так как в ней всегда существует взаимодействие, или, как обычно говорят, обратная связь между величиной на ее выходе и величиной на ее входе, благодаря которой сигнал, пропорциональный ошибке может обойти всю систему и вернуться к месту своего возникновения (т. е. к элементу, измеряющему ошибку).

Рис. VII 1.2. Разомкнутая система автоматического регулирования

Математически на наличие этой связи указывает уравнение ошибки (VII 1.3). Предположим, что обратная связь между выходом и входом нарушена. Физически это означает, что чувствительный элемент, измеряющий разность между входом и выходом, отключен от выхода, или, другими словами, от регулируемой переменной (рис. VIII.2). Систему автоматического регулирования, в которой нарушена обратная связь между выходом и входом через чувствительный элемент, измеряющий ошибку, принято называть разомкнутой.

Посмотрим, что произойдет с уравнениями (VIII. если не производить измерения ошибки и приложить ко входу измерительного элемента воздействие При этом, очевидно, уравнение ошибки (VIII.3) вообще перестанет существовать, а уравнение регулятора сведется к виду

или, переходя к изображениям,

Решая уравнение (VIII.23) относительно и подставив результат в первое из уравнений (VIII.5) для случая разомкнутой системы, получим

Положив в выражении (VIII.24) и учитывая обозначения (VIII.8), будем иметь

откуда следует, что функция представляет собой передаточную функцию разомкнутой системы автоматического регулирования по отношению к управляющему воздействию

Точно так же, положив в выражении (VIII.24) и учитывая уравнение (VIII. 19), получим

откуда следует, что функция представляет собой передаточную функцию разомкнутой системы автоматического регулирования по отношению к возмущающему воздействию .