3. О ПРЯМОМ МЕТОДЕ ЛЯПУНОВА

Прямой метод Ляпунова об изучении устойчивости сводится к построению таких функций V векторной переменной полные производные которых по времени, вычисленные согласно уравнениям (XI.6), обладают некоторыми специфическими для устойчивости свойствами.

Каждая -функция определена в области заданной неравенством

где — некоторая постоянная.

Всякую функцию V назовем знакопостоянной, если она, кроме нулевых значений, принимает всюду в области только значения одного знака.

Всякую знакопостоянную функцию, принимающую нулевое значение только в начале координат, назовем знакоопределенной и, желая обратить внимание на ее знак, определенно положительной или определенно отрицательной. Так, напрймер, из двух функций

функция — знакоопределенная, тогда как функция — только знакопостоянна.

Если постоянная С достаточно мала, то уравнение где С — постоянная для всякой знакоопределенной функции, представляет собой однопараметрическое семейство замкнутых поверхностей. При уменьшении параметра С поверхности стягиваются к началу координат, а в пределе при превращаются в точку — начало координат. Эти поверхности пересекают все пути, идущие из начала координат в бесконечность.

Рис. XI.1. Семейство кривых функции Ляпунова

Если же постоянная С достаточно велика, то поверхности могут быть и незамкнутыми. Действительно, например, знакоопределенная положительная функция

определяет семейство замкнутых кривых лишь при С 1; при каждом кривая состоит из двух ветвей, не имеющих общих точек (рис. XI. 1). Следовательно, данная -функция может служить функцией Ляпунова лишь для такого исследования устойчивости, при котором возмущения ограничены условием

т. е. когда движение начинается с точки

Как показали Е. А. Барбашин и Н. Н. Красовский, для получения замкнутых поверхностей во всей области знакоопределенные -функции должны обладать дополнительным свойством:

при Это свойство существенно при исследовании устойчивости в большом. Если же функция V явно зависит от то она называется знакоопределенной положительной, если в дополнение к предыдущему найдется другая знакоопределенная положительная

функция не зависящая от для которой соблюдается условие

при всех

Говорят, что функция допускает бесконечно малый высший предел, если существует знакоопределенная положительная функция удовлетворяющая условию

при

Данные неравенства означают, что поверхность будет располагаться в слое, образуемом поверхностями Следовательно, поверхности стягиваются к началу координат при

Наряду с функциями V будем рассматривать их полные производные по времени, вычисленные согласно уравнениям возмущенного движения (XI.6):

Ляпуновым были также доказаны две следующие фундаментальные теоремы:

Теорема 1. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, т. е. невозмущенное движение устойчиво.

Теорема 2. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы функцией знакоопределенной противоположного знака с V, то возмущенное движение устойчиво асимптотически.

Следовательно, в данном случае возмущенное движение будет при сходиться к движению невозмущенному, причем

Функции V, удовлетворяющие условиям этих теорем, называются функциями Ляпунова. Для того чтобы пояснить прямой метод Ляпунова, вернемся к нашему примеру.

Пользуясь формулами (XI.5), найдем

где

Исследуем устойчивость очевидного решения

Наиболее простая, знакоопределенная, всюду положительная функция данной задачи имеет вид

где — положительные постоянные, а через обозначена ради сокращения записей известная линейная функция переменных [см. второе уравнение (XI.12)].

Полная производная функции V имеет вид

Оценивая знак У, можно получить различные формы достаточных критериев устойчивости очевидного решения. В данном случае, требуя соблюдения соотношений

находим

Заметим, что при соблюдении условия (XI. 16) V — всюду знакопостоянная функция знака, противоположного а следовательно, по теореме Ляпунова невозмущенное решение устойчиво.

Отметим, что эта устойчивость не связана какими-либо ограничениями относительно величин возмущений, поэтому условия (XI. 16) дают достаточный критерий устойчивости в большом. Обратимся к ним. Их можно рассматривать как уравнения, содержащие неизвестные А, В, С. Уравнения должны разрешаться при положительных значениях неизвестных. Пусть С — произвольная положительная постоянная; при этом находим

Для данной задачи получаем следующую форму достаточного критерия устойчивости в большом:

Раскрывая истинное значение находим окончательно

Итак, при любых значениях постоянных регулятора, удовлетворяющих приведенным неравенствам, рассматриваемое невозмущенное движение устойчиво в большом. Следовательно, интересующий нас в системе регулирования установившийся режим физически осуществим, каковы бы ни были возмущения приложенные к системе.

Трудность применения прямого метода Ляпунова к решению прикладных задач связана с отсутствием широко разработанных приемов построения функций Ляпунова в тех или иных частных случаях. Однако, если задача о построении функций Ляпунова для какого-либо класса систем решена, то прямой метод можно рассматривать как наиболее эффективный метод исследования устойчивости. Его особенная ценность проявляется в тех случаях, когда интересуются исследованием устойчивости в большом, т. е. при любых конечных возмущениях. Кроме того, этот метод может применяться к изучению устойчивости тех систем регулирования, которые содержат существенно нелинейные и неаналитические (разрывные) характеристики. Во всех этих случаях возможность применения метода первого приближения исключена.

Если какая-либо задача об устойчивости в теории регулирования может быть решена прямым методом, то это решение не будет однозначным. Действительно, функции Ляпунова определены столь общими свойствами, что их может быть построено бесчисленное множество. Следовательно, условия устойчивости, к которым приводит прямой метод, являются условиями достаточными и их нарушение еще не будет означать неустойчивости системы. Последнее может иметь для нас двоякий смысл. Дело в том, что свобода выбора функций Ляпунова позволяет строить критерии устойчивости систем регулирования, в которых некоторые нелинейные элементы не могут быть точно охарактеризованы. К этим элементам принадлежит, например, гидравлический серводвигатель. Любой другой известный метод исследований устойчивости не дает возможности строго решить задачу об устойчивости в большом в этом случае.

Однако всегда при этом следует помнить, что полученное решение может оказаться неконструктивным, т. е. таким, которое предъявляет чрезмерно высокие требования к параметрам регулятора, реализовать которые практически невозможно.

Вопрос о конструктивности решений задачи прямым методом в каждом частном случае следует подвергать особому рассмотрению.

В последнее время большое внимание уделяется проблеме «устойчивости на конечном интервале Г». Это понятие устойчивости требует специального определения, ибо согласно теоремы о непрерывной зависимости решений (XI.9) от начальных условий неравенством (XI. 10а), (XI.11) всегда можно удовлетворить.

Однако формальное применение прямого метода Ляпунова и

в этом случае может принести большую пользу. Действительно, преобразуем время

Тогда Пусть — функция Ляпунова для системы

Очевидно, и преобразование времени не меняет знака V.

Поэтому формальное выполнение условий теоремы Ляпунова об устойчивости будет свидетельствовать лишь о затухании функции вдоль траекторий системы на конечном интервале Т.

Ввиду того что функция знакоопределенна, это затухание будет происходить в каждой координате однако оно никогда не будет асимптотическим.