10. ВЛИЯНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ НА КАЧЕСТВО ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

Как известно, для широкого класса динамических систем, преобразования Лапласа регулируемой величины имеет вид

а решение дифференциального уравнения переходного процесса состоит из трех составляющих:

вынужденной

если преобразование Лапласа возмущающего воздействия не имеет полюсов в начале координат и все нули — простые;

сопровождающей

свободной

Рассмотрим влияние распределения нулей и полюсов передаточной функции системы вида возмущающего или управляющего воздействия и начальных условий на характер переходного процесса и сформулируем некоторые рекомендации по выбору распределения нулей и полюсов передаточной функции (если такая возможность имеется), при котором качество переходного процесса будет удовлетворительным. На практике встречаются два случая:

а) внешнее воздействие является возмущающим и необходимо создать систему, которая минимальным образом реагировала бы на это воздействие;

б) внешнее воздействие является управляющим, полезным, и требуется так выбрать параметры системы, чтобы это воздействие воспроизводилось с минимальными погрешностями.

Как в том, так и в другом случае для уменьшения динамических ошибок и получения высококачественной системы необходимо соответствующим выбором параметров системы и расположения ее нулей и полюсов обеспечить возможное сближение собственных (свободной и сопровождающей) составляющих движения.

Вынужденная составляющая в первом случае должна быть возможно близкой к нулю, а во втором случае не должна по своему виду существенно отличаться от внешнего воздействия.

Рассмотрим условия, которые следуют из анализа влияния распределения нулей и полюсов передаточной функции системы на каждую из составляющих закона изменения интересующей нас величины

Задача уменьшения вынужденной составляющей движения возникающей при наличии возмущающего воздействия Анализируя выражение вынужденной составляющей заметим, что ее величина будет тем меньше, чем меньше значения выражений т. е. значения передаточной функции системы в точках, соответствующих полюсам возмущающего воздействия, или, как говорят, значения комплексного спектра системы в полюсах воздействия при

Так, например, если один из нулей передаточной функции системы лежит в начале координат, т. е. когда

а возмущающее воздействие имеет постоянную составляющую (преобразование Лапласа имеет полюс, расположенный в начале координат), и вынужденная часть решения не будет содержать постоянной составляющей. В этом случае мы имеем астатическую систему.

Вынужденная составляющая решения в системе с астатизмом второго порядка, в которой не будет иметь постоянной слагаемой как при возмущающем воздействии в виде ступенчатой функции, так и при возмущающем воздействии вида так как последнем случае нуль второго порядка передаточной функции системы совпадает с полюсом второго порядка возмущающего воздействия, расположенным в начале координат.

В общем случае для уменьшения вынужденной составляющей целесообразно стремиться нули передаточной функции совмещать с полюсами возмущающего воздействия или вообще располагать их в области спектра воздействия, которая может быть известна заранее.

Задача воспроизведения управляющего воздействия. Эта задача возникает при расчете следящих систем, усилителей, систем управления, всережимных регуляторов с переменной настройкой и т. п.

Относительную погрешность воспроизведения определим [19] как отношение

где — коэффициент усиления.

Рассмотрим условия, при которых эта погрешность будет возможно меньшей и во всяком случае меньше некоторой наперед заданной допустимой погрешности

Первым и основным условием точного воспроизведения внешнего воздействия является уменьшение собственных составляющих движения и обеспечение их быстрейшего затухания, поскольку они представляют прямую ошибку воспроизведения. При этом ставится требование устойчивости системы, а также требование высокой степени устойчивости, малой колебательности и т. д.

Вторым существенным условием является требование отсутствия резонанса в системе. Если один или несколько полюсов передаточной функции системы и комплексного спектра (преобразования Лапласа) внешнего воздействия совпадают, то имеет место так называемый обобщенный резонанс.

При наличии обобщенного резонанса вынужденная составляющая движения существенно отличается по своему виду от внешнего воздействия и это отличие тем сильнее, чем ближе расположен резонансный полюс к мнимой оси [19]. Так, например, если в точке резонансный полюс имеет порядок то соответствующая составляющая решения получит вид

Таким образом, для уменьшения ошибки воспроизведения необходимо удалять полюсы передаточной функции системы от полюсов воздействия. Попытаемся оценить влияние расположения нулей и полюсов передаточной функции системы на ошибку воспроизведения внешнего воздействия. Аппроксимируем внешнее воздействие суммой составляющих следующего вида:

тогда

Вынужденная составляющая решения будет иметь вид

Ошибку воспроизведения определяемую формулой (XVII.90), можно представить в виде

а ошибку воспроизведения внешнего воздействия вынужденной составляющей следующим выражением:

Следуя работе [19], введем ошибку воспроизведения отдельно от элементарного воздействия

или

Отсюда можно написать

Подставляя это выражение в формулу (XVI 1.94) относительной ошибки воспроизведения внешнего воздействия вынужденной составляющей и учитывая зависимость (XVII.93), получим

Полученная формула показывает, что для улучшения качества воспроизведения внешнего воздействия нужно стремиться уменьшать Преобразуем выражение и воспользуемся векторной интерпретацией входящих в формулы дробно-рациональных выражений, которая с успехом была применена при анализе погрешностей воспроизведения воздействия в работе [19]. Представим в следующем виде:

где — вектор, проведенный из полюса передаточной функции в полюс спектра воздействия; нетрудно видеть (рис. XVII. 19), что где — вектор, проведенный из того же полюса в начало координат. Произведя замену получим

где — вектор, проведенный из нуля передаточной функции в полюс спектра воздействия;

— вектор, проведенный из того же нуля в начало координат. Подставив эти величины в выражение получим

Учитывая, что

и

найдем

Последняя формула позволяет оценить погрешность воспроизведения каждого элемента воздействия, определяемого полюсом

Рис. XVII. 19. Расположение векторов, проведенных из полюсов передаточных функций и полюса спектра воздействия, для определения погрешности воспроизведения

Рис. XVI 1.20. Области расположения нулей и полюсов передаточной функции системы и полюсов спектра воздействия

Если и то погрешность будет близка к нулю. Если то ошибка также будет весьма малой.

Следовательно, для снижения погрешностей воспроизведения внешних воздействий или для повышения управляемости системы необходимо полюсы и нули передаточной функции удалять от области расположения полюсов спектра воздействия и по возможности приближать нули передаточной функции к ее полюсам. Так как число нулей передаточной функции всегда меньше числа ее полюсов, та целесообразно стремиться располагать нули вблизи тех полюсов передаточной функции, которые ближе всего к области расположения полюсов спектра воздействия.

Если радиус области, внутри которой расположены полюсы спектра воздействия, достаточно мал по сравнению с расстоянием от начала координат до ближайшего к этой области полюса или нуля передаточной функции системы (рис. XVII.20)

то точную формулу для оценки погрешности воспроизведения уравнения (XVI 1.98) можно заменить более простой приближенной формулой

В этом случае выражение (XVI 1.97) для общей погрешности воспроизведения тоже значительно упрощается:

где

Преобразуем это выражение, заметив, что

а

или, обозначив получим

Таким образом, для снижения погрешности воспроизведения необходимо уменьшать безразмерную величину

зависящую только от взаимного расположения нулей и полюсов передаточной функции системы и радиуса области расположения полюсов спектра внешнего воздействия.

Задача уменьшения собственной сопровождающей составляющей. Как мы видели, в общем случае выражение собственной сопровождающей составляющей движения имеет вид

Аппроксимируем внешнее воздействие суммой составляющих

и рассмотрим сначала сопровождающие движения, вызываемые одной составляющей воздействия:

Преобразование Лапласа для этой составляющей будет

а составляющая движения получит выражение

здесь

Таким образом,

Подчеркнем, что здесь суммирование распространяется на все полюсы передаточной функции системы. Полученному выражению можно дать векторную интерпретацию. Нетрудно видеть, что каждая скобка числителя может быть представлена в виде вектора проведенного из соответствующего нуля передаточной функции в ее полюс а знаменатель — в виде произведения векторов проведенных в полюс передаточной функции системы из всех остальных ее полюсов, умноженного на вектор проходящий из данного полюса внешнего воздействия в полюс передаточной функции системы (рис. XVII.21).

При указанных обозначениях формула (XVII. 103) получит вид

Собственная сопровождающая составляющая, а следовательно, и динамические погрешности будут тем меньше, чем меньше будут коэффициенты, стоящие под знаком суммы в выражении (XVII.104). Анализируя последнее выражение, заметим, что сопровождающая составляющая будет тем меньше, чем дальше расположены полюсы передаточной функции от полюсов спектра воздействия и чем ближе будут находиться нули передаточной функции к ее полюсам.

В том случае, если полюсы внешнего воздействия лежат в малой окрестности начала координат, а полюсы передаточной функции

удалены от него, то с достаточной точностью можно заменить расстояния между полюсами передаточной функции и полюсами спектра воздействия расстояниями между полюсами и началом координат, т. е. принять

Рис. XVII.21. Расположение векторов полюсов и нулей передаточной функции и внешнего воздействия

Рис. XVII.22. К определению собственной сопровождающей составляющей движения

Проанализируем влияние изменения расположения нулей и полюсов передаточной функции на сопровождающую составляющую движения при постоянном коэффициенте усиления системы При этом заметим, что

откуда

Подставим последнее выражение в уравнение (XVII. 104) и рассмотрим случай, когда можно принять

Учитывая, что получим

где в произведении т. в результате сокращения дроби отсутствует множитель, соответствующий вектор, проходящий из полюса в начало координат (рис. XVII.22).

Выражение (XVII. 107) показывает, что в этом случае для уменьшения собственных сопровождающих колебаний необходимо стремиться векторы, проведенные из полюсов передаточной функции в начало координат и из нулей передаточной функции в ее полюсы, уменьшать, а векторы, проведенные между полюсами передаточной функции и из ее нулей в начало координат, увеличивать.

Нетрудно видеть, что и то, и другое независимо осуществить нельзя, и эти требования в известной мере противоречивы. Однако можно найти некоторый оптимум, при котором расположение нулей и полюсов передаточной функции обеспечивает минимальное значение собственной сопровождающей составляющей движения. При этом нужно следить и за изменением вынужденной составляющей движения.

Задача уменьшения свободной составляющей движения. Свободная составляющая движения, как уже отмечалось выше, появляется только при ненулевых начальных условиях. Величина этой составляющей зависит от вида функции Мн начальных условий и распределения полюсов передаточной функции системы (корней характеристического уравнения).

Выражение и ее связь с параметрами системы рассмотрена в главе V. Анализу влияния расположения корней характеристического уравнения системы при типовых начальных условиях на качество переходного процесса посвящена значительная часть настоящей главы. Поэтому здесь мы не будем детально останавливаться на рассмотрении свободных колебаний системы. Отметим лишь, что свободные колебания затухают тем быстрее, чем дальше от мнимой оси расположены корни характеристического уравнения.

Пример. В качестве примера рассмотрим систему, передаточная функция которой имеет следующие нули у и полюсы (рис. XVI 1.22):

Допустим, что тогда и

Найдем выражение ошибки воспроизведения по формуле (XVI 1.98):

Определив величины прямо из чертежа, получим после чего найдем выражение вынужденной составляющей

Далее найдем выражение собственной сопровождающей составляющей движения используя для этого случая формулу (XVII. 104), т. е.

Пользуясь рис. XVI 1.22 и исходными данными, найдем численные значения величин, входящих в последнее выражение. В результате получим

Выясним на данном примере влияние на переходный процесс различного расположения нулей передаточной функции при неизменном расположении полюсов. Для этого переместим нули передаточной функции в точки и вычислим выражения сохранив при этом величину коэффициента

Для сохранения значения напишем выражение в следующем виде:

и выберем соответствующее значение

откуда

После соответствующих вычислений получим

и

Полученные выражения для показывают, что в результате изменения расположения нулей передаточной функции внутри области расположения ее полюсов существенно снизились амплитуды или, точнее говоря, величины всех составляющих переходного процесса, а компонента собственных движений системы, определяемая полюсами и передаточной функции, вблизи которых (на расстоянии 0,2) помещены ее нули уменьшилась почти в 6 раз. Роль этой компоненты по сравнению с другими стала пренебрежимо малой, несмотря на то, что определяющие ее полюсы имеют наименьшую по абсолютной величине вещественную часть, характеризующую степень устойчивости системы. При этом переходный процесс в основном уже определяется другими полюсами передаточной функции.

Из анализа влияния распределения нулей и полюсов передаточной функции на характер переходного процесса и его основные составляющие можно сделать следующие общие выводы и сформулировать некоторые рекомендации по выбору расположения полюсов передаточной функции относительно области полюсов заданного спектра внешнего воздействия:

1. Полюсы передаточной функции системы следует удалять от области расположения полюсов спектра внешнего воздействия и во всяком случае не допускать их совпадения, что приводит к обобщенному резонансу.

2. Нули и полюсы передаточной функции необходимо располагать так, чтобы значение передаточной функции в полюсах спектра воздействия было минимальным, когда система должна минимальным образом реагировать на возмущающее воздействие или таким образом, чтобы передаточная функция имела в полюсах спектра воздействие почти постоянное значение, т. е. чтобы когда система должна с минимальными погрешностями воспроизводить управляющее воздействие

3. Нули передаточной функции целесообразно размещать вблизи ее полюсов, расположенных ближе всего к мнимой оси. При удалении нулей от полюсов передаточной функции возрастают собственные сопровождающие колебания.

4. Полюсы передаточной функции необходимо располагать возможно дальше от мнимой оси. Удаление от мнимой оси полюса не оказывает существенного влияния на характер переходного процесса.

Эти общие рекомендации позволяют ориентироваться в выборе расположения нулей и полюсов передаточной функции системы относительно заданной области расположения полюсов спектра

воздействия и изменять их положение в определенном направлении, если качество переходного процесса не удовлетворяет поставленным требованиям.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)