2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ПО УРАВНЕНИЮ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
В большинстве задач теории автоматического регулирования функции 
допускают разложение в степенные ряды, сходящиеся в некоторой 
-окрестности начала координат [см. выражение (XI.8)]:
если постоянная 
достаточно мала.
В этих случаях уравнениям (XI.6) всегда можно придать вид
где 
— постоянные линейной части разложения; функции 
не содержат членов ниже второго порядка малости.
На практике часто судят об устойчивости решения (XI.8), рассматривая лишь уравнения так называемого первого приближения
вместо уравнений (XI. 13).
Так как справедливость замены уравнений (XI. 13) уравнениями (XI. 14) заранее не ясна, возникла задача указать все случаи исследования уравнений (XI.13), в которых устойчивость (неустойчивость) решения (XI.8) вытекает из рассмотрения уравнений первого приближения (XI. 14). Эту исключительно важную для теории регулирования задачу впервые разрешил Ляпунов. Он показал, что все случаи исследования уравнений (XI. 14) следует разделять на две категории: некритических и критических случаев.
К первой из них он относит случаи, в которых вопрос об устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения однозначно разрешается на основании исследования уравнений первого приближения (XI. 14).
Чтобы эти случаи обнаружить, следует составить характеристическое уравнение
и исследовать его корни 
Ляпунов доказал две следующие основные теоремы, позволяющие исследовать все случаи первой категории.
Теорема 1. Если вещественные части всех корней 
характеристического уравнения (XI. 15) первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво независимо от членов разложения выше первого порядка малости.
Теорема 2. Если среди корней 
характеристического уравнения (XI. 15) первого приближения найдется по меньшей мере один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от членов разложения выше первого порядка малости.
Все критические случаи имеют место лишь тогда, когда среди всех корней 
уравнения (XI. 15) имеется некоторая группа корней, вещественная часть которых равна нулю, остальная группа корней
имеет вещественную часть отрицательную. Во всех этих критических случаях вопрос об устойчивости невозмущенного движения (XI.8) не может быть разрешен на основании исследования уравнений первого приближения.
Как показал А. М. Ляпунов, в критических случаях устойчивость (неустойчивость) невозмущенного движения определяется видом нелинейных функций 
поэтому во всех этих случаях требуется рассматривать уравнения (XI. 13) в их исходном виде.
Следует иметь в виду, что исследование критических случаев представляет особенно большой интерес для решения целого ряда важных прикладных задач, к которым, в частности, относится задача об устойчивости продольного движения самолета.
Методы решения задачи об устойчивости невозмущенного движения были развиты самим Ляпуновым, а также Н. Г. Четаевым, И. Г. Малкиным, Г. В. Каменковым, К. П. Персидским, Н. П. Еругиным, Е. А. Барбашиным, Н. Н. Красовским и др.
Важное приложение к динамическим системам и к системам автоматического регулирования учения Ляпунова об устойчивости в критических случаях дали Н. Н. Баутин и А. И. Лурье. Они показали, что вопрос об устойчивости регулируемых систем в критических случаях связан с определением опасных и безопасных участков границы области устойчивости системы.
Из сказанного выше ясно, что для решения задачи об устойчивости движения важное значение приобретают теоремы, позволяющие выяснить необходимые и достаточные условия, при выполнении которых вещественные части всех корней характеристического уравнения (XI. 15) отрицательны. Такого рода теоремы рассмотрены в главе XII, мы же вкратце изложим другой способ решения задачи об устойчивости, получившей название прямого метода Ляпунова.
